Cho a ( y+z) = ab / cd (a,b,c,d # 0). CMR: y-z/a ( b-c ) = z - x/ b ( c-a )= x-y / c (a-b )
(/ là phần)
Cho các số hữu tỉ x = a b , y = c d (a,b,c,d Z, b ≠ 0, d ≠ 0). Tổng x+y bằng:
A. a c - b d b d
B. a c + b d b d
C. a d + b c b d
D. a d - b c b d
Cho các số hữu tỉ x = a b ; y = c d a , b , c , d ∈ Z , b ≠ 0 , d ≠ 0 . Tổng x + y bằng
A. a c - b d b d
B. a c + b d b d
C. a d + b c b d
D. a d - b c b d
1)Cho a/b=c/d. CM:a^2-b^2/ab=c^2-d^2/cd
2)Cho a,b,c đôi một khác và khác 0 biết ab có gạch trên đầu ý nguyên tố ab gạch trên đầu / cd gach trên đầu
3)Tìm x,y thuộc Z khác 0 thỏa 9^2 nhân x^2=16(y^2+9)
4)TÌm GTLN của A=x+2/ |x| với x thuộc Z
5)Tìm a,b,c biết ab=2,bc=6,ac=3
\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$
Ta có $\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}=\frac{16}{4+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b\leq 4$ là suy ra $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq \frac{16}{4+4}=2$
Bất đẳng thức đã cho tương đương $ab.bc+bc.cd+cd.da+da.ab\leq 4$ với $a+b+c+d=4$
Chuyển $\left ( ab,bc,cd,da \right )\Rightarrow (x,y,z,t)$
Ta có $x+y+z+t=ab+bc+cd+ad \leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$
Lại có $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b=xy+yz+zt+tx \leq \frac{(x+y+z+t)^2}{4} \leq \frac{4^2}{4}=4$
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=d=1$
doc lam sao
Cho a,b,c,d thuộc z+ : a+b=c+d,ab+1=cd
CM c=d
Cho a,b,c,d thuộc Z thỏa mãn : a+b=c+d ; ab + 1= cd. Chứng minh c=d
Để mik làm cho nha
Ta có: a+b=c+d => a= c+d-b
cd-ab=1
cd-(c+d-b)b=1
cd-cb-db+b^2=1
d(c-b)-b(c-b)=1
(d-b)(c-b)=1
Do a,b,c,d là các số nguyên nên ta có:
Th1 :d-b=1 và c-b=1 suy ra c=d
Th2: d-b=-1 và c-b=-1 suy ra c=d
Vậy c=d trong cả hai trường hợp.
\(a+b=c+d\Rightarrow a=c+d-b\)
Thay vào: \(ab+1=cd\)
\(\Rightarrow\left(c+d-b\right).b+1=cd\)
\(\Leftrightarrow cb+db-cd+1-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c-d\right)-d\left(c-d\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(c-d\right)=-1\)
a,b,c,d,nguyên nên (b-d) và (c-b) nguyên
Mà (b-d)(c-b)=-1 nên có 2 TH:
\(TH1:\hept{\begin{cases}b-d=1;c-d=1\\d=b+1;c=b+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow c=b\)
\(TH2:\hept{\begin{cases}b-d=1;c-d=-1\\d=b-1;c=b-1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow c=d\)
Vậy: Từ 2 TH, ta có: c = d.
Cho hai số hữu tỉ a b v à c d ( a,b,c, d ∈ Z, b > 0, d > 0). Chứng minh ad < bc khi và chỉ khi a b < c d
Nếu ad < bc => a d b d < b c b d = > a b < c d
Ngược lại nếu a b < c d = > a b . b d < c d . b d = > a d < b c
Cho a;b;c;d thuộc z sao cho ab=cd+1 và a+b=c+d.Chứng minh a=b
Cho a,b,c,d thộc Z biết ab=cd+1 và a+b=c+d. Tính a2019-b2019
a+b=c+d
=>d=a+b-c
Ta có: ab=cd+1
nên: ab-c(a+b-c)=1
=>ab-ac-bc+2c=1
=>a(b-c)-c(b-c)=1
=>(a-c)(b-c)=1
=>a-c=b-c
=>a=b
=>a2019=b2019
=>a2019-b2019=0