giả sử có các số nguyên x,y,z thỏa mãn các đẳng thức đã cho 

xét x^3 + xyz= 975 ta có

x^3 + xyz= x(x^2+yz)=975 => x là số lẻ

tương tự xết y^3 + xyz và z^3 + xyz ta cũng đc y,z là số lẻ

x là số lẻ => x^3 là số lẻ 

=> x^3+xyz là số chẵn 

trái với đề bài nên ko tồn tại số nguyên x,y,z thỏa mãn đẳng thức đã cho

Lời giải:
$x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020$

$\Leftrightarrow x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1)=2020$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)+y(y-1)(y+1)+z(z-1)(z+1)=2020$
Vì $x,x-1,x+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên $x(x-1)(x+1)\vdots 6$

Tương tự: $y(y-1)(y+1), z(z-1)(z+1)\vdots 6$

$\Rightarrow x(x-1)(x+1)+y(y-1)(y+1)+z(z-1)(z+1)\vdots 6$

Mà $2020\not\vdots 6$ nên không tồn tại 3 số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn đk đã cho.

ta có: xy+x+y = 3

=> xy +x +y +1 =4

=> (x+1).(y+1) = 4 (1)

tương tự, ta có: (y+1).(z+1)= 9 (2)

(x+1).(z+1) = 16 (3)

Nhân (1);(2);(3) lại vs nhau

được: \([\left(x+1\right).\left(y+1\right).\left(z+1\right)]^2=576=24^2=\left(-24\right)^2.\)

TH1: (x+1).(y+1).(z+1) = 24

=> 4.(z+1)=24

=> z+1 = 6 => z = 5

mà yz +y +z = 8

=> 6y + 5 = 8 => y = 1/2

mà xz+z+x = 15

=> 6x + 5 = 15 => x = 5/3

=> P =  5/3 +1/2 + 5 = 43/6

TH2: (x+1).(y+1).(z+1) = -24

...

bn cũng lm tương tự như TH1 nha!

Pt đầu tương đương: \(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2}=7\)

Pt 2 tương đương:

\(\left(xy^2+z^4\right)^2-\left(xy^2-z^4\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow4xy^2z^4=4\)

\(\Leftrightarrow xy^2z^4=1\) (1)

Quay lại pt đầu, áp dụng AM-GM:

\(7=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z}\ge7\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{y^4}.\sqrt[3]{z^8}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[21]{x^2y^4z^8}\le1\)

\(\Leftrightarrow x^2y^4z^8\le1\)

\(\Rightarrow\left|xy^2z^4\right|\le1\Rightarrow xy^2z^4\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y^2=z^2\\xy^2z^4=1\\x>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\pm1\\z=\pm1\end{matrix}\right.\)

Các bộ thỏa mãn là: \(\left(1;1;1\right);\left(1;1;-1\right);\left(1;-1;1\right);\left(1;-1;-1\right)\)

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xyz-3x^2y-3xy^2\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]\)

\(=0\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

(y + z - x)/x = (z + x - y)/y = (x + y - z)/z = 1

--> y + z - x = x; z + x - y = y; x + y - z = z

--> y + z = 2x; z + x = 2y; x + y = 2z

Ta có: 

B = (x + y)/y.(y + z)/z.(z + x)/x

= 2z/y.2x/z.2y/x = 8