Đa thức bậc 4 có dạng \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)

+) \(f\left(1\right)=f\left(-1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e=a-b+c-d+e\)

\(\Leftrightarrow b+d=-b-d\)

\(\Leftrightarrow2\left(b+d\right)=0\Leftrightarrow b+d=0\Leftrightarrow b=-d\)(1)

+) \(f\left(2\right)=f\left(-2\right)\)

\(\Leftrightarrow16a+8b+4c+2d+e=16a-8b+4c-2d+e\)

\(\Leftrightarrow8b+2d=-8b-2d\)

\(\Leftrightarrow4b+d=0\Leftrightarrow4b=-d\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4b=b\Leftrightarrow3b=0\Leftrightarrow b=0\Leftrightarrow b=d=0\)

Vậy f(x) trở thành \(f\left(x\right)=ax^4+cx^2+e\)

f(x) là đa thức có bậc chẵn nên f(x) = f(-x)

Vậy \(f\left(2013\right)=f\left(-2013\right)\)(đpcm)

Giả sử đa thức thương có dạng là ax + b. Khi đó: f(x) = (x²+1)(ax+b) + 5x+4

Bạn lần lượt thay x = 1 và x = -1 vào đa thức trên thì ra hệ pt vs 2 ẩn a, b. cộng tương ứng từng vế của 2 hệ đó lại là tìm được a, b. thay a, b vào đa thức trên, khai triển ra rồi thay x = 2014 là ok

a) Giả sử f(x)=ax²+bx+c
f(0)=0 <=> 0.a+0.b+c=2010 => c=2010
f(1)-f(0)=1 <=> f(1) =2011 <=> a+b+c=2011=> a+b=1(1)
f(-1)-f(1)=1 <=> f(-1)=2012<=> a-b+c=2012 => a-b=2(2)
Từ (1), (2), (3) => a=3/2,b=-1/2,c=2010
=> f(x)=3/2.x²-1/2.x+2010
=>f(2)=3/2.4-1/2.2+2010=2015 (đpcm)

b) f(2m)-f(2)-f(0)=5m²-3m-1
3/2.4m²-1/2.2m+2010-2015-2010=5m²-3m-1
<=>6m²-m-2015=5m²-3m-1
<=>m²+2m-2014=0
<=> \(\orbr{\begin{cases}m=-1+\sqrt{2015}\\m=-1-\sqrt{2015}\end{cases}}\)
=> Không có số chính phương m thỏa mãn

Mình góp ý chút nhé số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nhé =))

Xét g(x) = f(x) - x^2 -2 
g(x) có bậc 4 và g(1)=g(3)=g(5)=0 
Vậy g(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x+a) vì f có hệ số cao nhất là 1 
=> f(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x+a) + x^2 +2 
f(-2) = -105(a-2) + 6 = 216 -105a 
f(6) = 15(a+6) + 38 = 128 +15a 
f(-2) + 7f(6) = 216 - 105a + 896 + 105a = 1112

Tại sao lại có x+a vậy bạn?

amazing gutchop em