a) Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có 

\(\widehat{NAC}\) chung

Do đó: ΔAMB∼ΔANC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
Xét ΔAMN và ΔABC có 

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{NAM}\) chung

Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(hai góc tương ứng)

b) Gọi giao điểm của AH và BC là K

Xét ΔCHK vuông tại K và ΔCBN vuông tại N có 

\(\widehat{HCK}\) chung

Do đó: ΔCHK∼ΔCBN(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CK}{CN}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(CH\cdot CN=CB\cdot CK\)

Xét ΔBHK vuông tại K và ΔBCM vuông tại M có 

\(\widehat{HBK}\) chung

Do đó: ΔBHK∼ΔBCM(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BM}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(BH\cdot BM=BC\cdot BK\)

Ta có: \(BH\cdot BM+CH\cdot CN\)

\(=BC\cdot BK+BC\cdot CK\)

\(=BC^2=a^2\)(đpcm)

a) Ta có: \(AB.sinC+AC.cosC=AB.\dfrac{AB}{BC}+AC.\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB^2}{BC}+\dfrac{AC^2}{BC}\)

\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2}{BC}=BC\)

b) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) nội tiếp

\(\Rightarrow EF=AH\Rightarrow EF.BC.AE=AH.BC.AE\)

\(=AB.AC.AE\left(AB.AC=AH.BC=2S_{ABC}\right)=AE.AB.AC\)

\(=AH^2.AC=AF.AC.AC=AF.AC^2\)

c) Ta có: \(AH.BC.BE.CF=AB.AC.BE.CF=BE.BA.CF.CA\)

\(=BH^2.CH^2=\left(BH.CH\right)^2=\left(AH^2\right)^2=AH^4\)

\(\Rightarrow AH^3=BC.BE.CF\)

Vì AEHF là hình chữ nhật \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=HF\\AF=EH\end{matrix}\right.\)

Vì \(BE\parallel HF\) \(\Rightarrow\angle CHF=\angle CBA\)

Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BE}{EH}=\dfrac{HF}{FC}\Rightarrow\dfrac{BE}{AF}=\dfrac{AE}{CF}\)

\(\Rightarrow BE.CF=AE.AF\Rightarrow BC.AE.AF=BC.BE.CF=AH^3\)

A, 

xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACD\)

CÓ \(\hept{\begin{cases}AB=AC\\chungAD\\BD=DC\end{cases}}\)

SUY RA \(\Delta ABD\)=\(\Delta ACD\) (C.C.C)  (1)

=> \(\widehat{BDA}\)=\(\widehat{CDA}\)

MÀ \(\widehat{BDA}\)+\(\widehat{CDA}\)=180

=> \(\widehat{BDA}\)=\(\widehat{CDA}\)=90

B,  (1) => BC=DC=1/2 BC=8

ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ PITAGO TA CÓ

\(AB^2=AD^2+BD^2\)

=> AD^2=36

=>AD=6

c, vì M là trọng tâm nên AM=2/3AD=4

d

Làm câu c thôi

Hình