gọi m là 1 giá trị của biểu thức P, Khi đó hệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x,y

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=36\left(1\right)\\x-y+2004=m\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ ( 2 ) suy ra y = x + 2004 - m

Thế vào ( 2 ),ta được : \(16x^2+9\left(x+2004-m\right)^2=144.36=5184\)

\(\Leftrightarrow25x^2+18\left(2004-m\right)x+9\left(2004-m\right)^2-5184=0\)( 3 )

Hệ PT có nghiệm khi PT ( 3 ) có nghiệm 

\(\Rightarrow\Delta'=\left[9\left(2004-m\right)\right]^2-25\left[9\left(2004-m\right)^2-5184\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2004-m\right)^2\le900\Leftrightarrow-30\le2004-m\le30\)

\(\Leftrightarrow1974\le m\le2034\)

từ đó tìm được GTNN của P là 1974 khi \(x=\frac{-54}{5};y=\frac{96}{5}\)

GTLN của P là 2034 khi \(x=\frac{54}{5};y=\frac{-96}{5}\)

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Từ giả thiết ta suy ra \(16x^2+9y^2=72^2.\) Theo bất đẳng thức Bunhia: \(36\times25=\left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}\right)\left(9+16\right)=\left(\frac{x^2}{9}+\frac{\left(-y\right)^2}{16}\right)\left(9+16\right)\ge\left(x-y\right)^2\to-30\le x-y\le30.\)

Do đó \(1985\le P\le2045\).

Khi \(x=\frac{54}{5},y=-\frac{96}{5}\to\) thỏa mãn điều kiện và \(P=2045.\)

Khi \(x=-\frac{54}{5},y=\frac{96}{5}\to\) thỏa mãn điều kiện và \(P=1985.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(2045\) và giá trị bé nhất là \(1985.\)