Cho tg ABC vuông tại A, đường cao AH. C/m AH+BC>AB+AC
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Lấy điểm K trên tia HC sao cho: HK = BH. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại I (I ∈ AC), đường thẳng đó cắt tia AH tại E
a) Chứng minh ∆ AHB = ∆ AHK; b) Chứng minh: EI // AB;
c) Chứng minh: AH = HE
d) Lấy điểm D trên đoạn CE sao cho CD = CI. Chứng minh 3 điểm A, K, D thẳng hàng.
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHK vuông tại H có
AH chung
HB=HK
Do đó: ΔAHB=ΔAHK
Cho ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Chứng minh HAC ഗ ABC. b) Tính độ dài đoạn thẳng AC, biết CH = 4cm; BC = 13cm |
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh AE.CH = AH.FC. |
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác HEF có diện tích nhỏ nhất.
a) -△ABC và △HAC có: \(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^0\); \(\widehat{C}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△ABC∼△HAC (g-g)
b)\(\Rightarrow\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\Rightarrow AC^2=BC.CH=13.4=52\Rightarrow AC=\sqrt{52}\left(cm\right)\)
c) \(\widehat{AHE}=90^0-\widehat{AHF}=\widehat{CHF}\).
-△AHE và △CHF có: \(\widehat{AHE}=\widehat{CHF}\); \(\widehat{HAE}=\widehat{HCF}\) (△ABC∼△HAC)
\(\Rightarrow\)△AHE∼△CHF (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{AE}{CF}\Rightarrow AE.CH=AH.FC\).
d) -Gọi G là giao của AB và HF.
-△GAF và △GHE có: \(\widehat{GAF}=\widehat{GHE}=90^0\); \(\widehat{G}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△GAF∼△GHE (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{GA}{GH}=\dfrac{GF}{GE}\Rightarrow\dfrac{GA}{GF}=\dfrac{GH}{GE}\)
-△GEF và △GHA có: \(\dfrac{GA}{GF}=\dfrac{GH}{GE}\); \(\widehat{G}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△GEF∼△GHA (c-g-c) \(\Rightarrow\widehat{GFE}=\widehat{GAH}\).
\(\widehat{GAH}=90^0-\widehat{CAH}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{GFE}=\widehat{ACB}\).
-△HEF và △ABC có: \(\widehat{EHF}=\widehat{BAC}=90^0;\widehat{HFE}=\widehat{ACB}\).
\(\Rightarrow\)△HEF∼△ABC (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{S_{HEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{HE}{AB}\Rightarrow S_{HEF}=\dfrac{HE}{AB}.S_{ABC}\)
-Qua H kẻ đg thẳng vuông góc với AB tại E' \(\Rightarrow HE\ge HE'\)
\(\Rightarrow S_{HEF}\ge\dfrac{HE'}{AB}.S_{ABC}\).
-\(S_{HEF}\) có diện tích nhỏ nhất \(\Leftrightarrow E\equiv E'\Leftrightarrow\)E là hình chiếu của H lên AB.
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 50cm, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng H qua AB, E là điểm đối xứng H qua AC. Tìm điều kiện của tam giác ABC để diện tích tứ giác BDEC lớn nhất.
NHANH HỘ MÌNH VỚI !!!
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:7, AH = 42cm. Tính HB, HC?
Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{7}\)
nên \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{9}{49}\)
hay \(HB=\dfrac{9}{49}HC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH^2=HB\cdot HC\)
\(\Leftrightarrow HC^2\cdot\dfrac{9}{49}=42^2\)
hay HC=98cm
\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{9}{49}\cdot98=18cm\)
Ta có:\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{7}\) ⇒ AB = \(\dfrac{3}{7}\) AC
Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{42^2}=\dfrac{49}{9AC^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{42^2}=\dfrac{49}{9AC^2}\)
⇔ \(AC^2=11368\Leftrightarrow AC=14\sqrt{58}\) \(\left(cm\right)\)
⇔ \(AB=\dfrac{3}{7}.14\sqrt{58}=6\sqrt{58}\) \(\left(cm\right)\)
Áp dụng định lý Pytago cho ABH vuông tại A có: \(AB^2+AC^2=BC^2\)
⇔ \(BC^2=\left(6\sqrt{58}\right)^2+\left(14\sqrt{58}\right)^2\)
⇔ \(BC^2=13456\Rightarrow BC=116\) \(cm\)
Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:
Cho ∆ABC vuông tại A,có đường cao AH.
a) Chứng minh: ∆ABC đồng dạng ∆ HBA từ đó suy ra AB.AC = AH.BC
b) Chứng minh: AH2 HB.HC
c) Phân giác ABC cắt AH và AC lần lượt tại I và K. Chứng minh: AI2 = IH.KC
a) *Chứng minh ΔABC\(\sim\)ΔHBA
Xét ΔABC và ΔHBA có
\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ABH}\) chung
Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHBA(g-g)(1)
*Chứng minh \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}\)(3)
Ta có: AH là đường cao ứng với cạnh BC trong ΔABC(gt)
nên \(S_{ABC}=\frac{AH\cdot BC}{2}\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)(đpcm)
b) Xét ΔABC và ΔHAC có
\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{C}\) chung
Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC(g-g)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔHBA\(\sim\)ΔHAC
hay \(\frac{HB}{HA}=\frac{AH}{CH}\)
hay \(AH^2=BH\cdot CH\)(đpcm)
Bài 153. Cho tam giác vuông tại A, có đường cao AH. Biết HB = 4 cm, HC = 9 cm.
a) Tính AH, AB, AC.
b) Tính góc B, C.
c) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh AM.AB = AN.AC.
d) Gọi Klà trung điểm BC.Chứng minh rằng MN vuông góc với AK.
Cho tam giác ABC(AB < AC) có các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. ES vuông góc AD tại S. HK vuông DF tại K. HT vuông góc EF tại T. CMR: 3 điểm K T, S thẳng hàng
Tứ giác ESTH có \(\widehat{ETH}=\widehat{ESH}=90^o\) nên ESTH nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{TSH}=\widehat{TEH}=\widehat{FEH}\)
Mà tứ giác AEHF nội tiếp \(\left(\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o\right)\) nên \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\).
Từ đó suy ra \(\widehat{TSH}=\widehat{FAH}\) \(\Rightarrow\) TS//AB.
Mặt khác, tứ giác FTHK nội tiếp \(\left(\widehat{FTH}=\widehat{FKH}=90^o\right)\) nên \(\widehat{FTK}=\widehat{FHK}\) \(=90^o-\widehat{DFH}\) \(=90^o-\widehat{HBD}\) \(=\widehat{BHD}\) \(=\widehat{AHE}\) \(=\widehat{AFE}\) \(=\widehat{AFT}\) nên TK//AB.
Từ đó suy ra K, T, S thẳng hàng (tiên đề Euclid)
Dễ dàng chứng minh tứ giác HKFT nội tiếp: => \(\widehat{HTK}=\widehat{HFK}\)
Dễ dàng chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp: => \(\overline{\widehat{HFK}=\widehat{HAE}}\)
Mà \(\widehat{HAE}=\widehat{HES}\) và \(\widehat{HES}+\widehat{HTS}=180\) (Dễ dàng c/m tứ giác HTSE nội tiếp)
Nên \(\widehat{HTK}+\widehat{HTS}=180\)=> 3 điểm K,T,S thẳng hàng
(Nếu chưa học tứ giác nội tiếp thì kéo dài FK và TH cắt tại điểm nào đó rồi chứng minh tam giác đồng dạng và suy ra góc như trên, tứ giác AFDC cũng vậy )
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy D bất kỳ thuộc cạnh BC. Gọi H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Hai đường thẳng AM và BH cắt nhau tại K. Chứng minh:
a/ AH = CI
b/ DK // AC
c/ AH2 + AI2 có giá trị không đổi khi D thay đổi trên cạnh BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 50cm, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng H qua AB, E là điểm đối xứng H qua AC. Tìm điều kiện của tam giác ABC để diện tích tứ giác BDEC lớn nhất.