Câu 2 hình như sai đề bạn ey.

Câu 1: 

Đầu tiên,ta chứng minh BĐT phụ (mang tên Cô si): \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Thật vậy,điều cần c/m  \(\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT phụ (Cô si) là đúng.

----------------------------------------------------------

Áp dụng BĐT Cô si,ta có: \(2\sqrt{x}=2\sqrt{1x}\le x+1\)

Do đó: 

\(B=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\le\frac{x+1}{x+1}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\)

mk nghĩ cả hai câu sai nhưng xem lại đề giống y chang 

\(A=1+\sqrt{x-2}\)

Do \(\sqrt{x-2}\ge0\forall x>2\) nên \(A\ge1\forall x>2\)

Vậy \(minA=1\Leftrightarrow x=2\)

__________

\(B=5-\sqrt{2x-1}\)

Do \(\sqrt{2x-1}\ge0\forall x\ge\frac{1}{2}\)nên \(B\le5\forall x\ge\frac{1}{2}\)

Vậy \(maxB=5\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

a . ta có : \(1\le1+\sqrt{2-x}\Rightarrow GTNN=1\)

\(-2\le\sqrt{x-3}-2\Rightarrow GTNN=-2\)

b. \(0\le\sqrt{4-x^2}\le2\)

\(\sqrt{2x^2-x+3}=\sqrt{2\left(x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\right)+\frac{23}{8}}=\sqrt{2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}\ge\frac{\sqrt{46}}{4}\)

vậy \(GTNN=\frac{\sqrt{46}}{4}\)

ta có : \(0\le-x^2+2x+5=-\left(x-1\right)^2+6\le6\)

\(\Rightarrow1-\sqrt{6}\le1-\sqrt{-x^2+2x+5}\le1\)Vậy \(\hept{\begin{cases}GTNN=1-\sqrt{6}\\GTLN=1\end{cases}}\)

Câu 1:

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)

\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)

Vậy \(y_{\max}=10\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)

Tìm min:

Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

Chứng minh:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$

--------------------

Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)

\(\sqrt{5-x}\geq 0\)

\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)

Vậy $y_{\min}=6$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)

Bài 2:

\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)

Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:

\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)

Vậy \(A_{\min}=3989\)

Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)

Bài 3:

Ta thấy:

\(2x-x^2+7=8-(x^2-2x+1)=8-(x-1)^2\leq 8, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow 2+\sqrt{2x-x^2+7}\leq 2+\sqrt{8}=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow B=\frac{3}{2+\sqrt{2x-x^2+7}}\geq \frac{3}{2+2\sqrt{2}}\)

Vậy GTNN của $B$ là \(\frac{3}{2+2\sqrt{2}}\).

Đẳng thức xảy ra tại \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$y\sqrt{x-1}=\sqrt{y^2(x-1)}=\sqrt{y(xy-y)}\leq \frac{y+xy-y}{2}=\frac{xy}{2}$

$x\sqrt{y-2}=\sqrt{x^2(y-2)}=\sqrt{x(xy-2x)}\leq \frac{2x+(xy-2x)}{2\sqrt{2}}=\frac{xy}{2\sqrt{2}}$

$\Rightarrow y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-2}\leq \frac{xy}{2}+\frac{xy}{2\sqrt{2}}=xy.\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow P\leq \frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Vậy $P_{\max}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$