d) Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}\)(1)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BC\cdot BH\)

b) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có 

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{B}\right)\)

Do đó:ΔAHB\(\sim\)ΔCHA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=HB\cdot HC\)

Đáng lẽ câu b nên cm AH²=HC.HB chứ ?

Hình vẽ:

Lời giải:

1.

Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow BA^2=BH.BC$

Tương tự, ta cũng cm được: $\triangle CHA\sim \triangle CAB$ (g.g)

$\Rightarrow CA^2=CH.CB$

Do đó:

$CA^2+CB^2=BH.BC+CH.CB=BC(BH+CH)=BC.BC=BC^2$ 

(đpcm)

b. Xét tam giác $BHA$ và $AHC$ có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^0$

$\widehat{HBA}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{AH}=\frac{HA}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=BH.CH$

c.

$\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}$

$=\frac{BC^2}{AB^2.AC^2}=(\frac{BC}{AB.AC})^2=(\frac{BC}{2S_{ABC}})^2$

$=(\frac{BC}{AH.BC})^2=\frac{1}{AH^2}$

.d. Hiển nhiên theo công thức diện tích. 

    Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

Ta có: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

Vì \(AH\cdot BC=AC\cdot AB\) (chứng minh ở câu hỏi trước r)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH}=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2\cdot AC^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}\left(pytago\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

Xét tam giác ABC vuông tại A 

ta có \(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{BH.BC}+\dfrac{1}{CH.BC}=\dfrac{CH+BH}{CH.BC.BH}=\dfrac{BC}{BC.AH^2}=\dfrac{1}{AH^2}\left(đpcm\right)\)

1: Xét tứ giác AFDE có

\(\widehat{AFD}=\widehat{AED}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AFDE là hình vuông

2: Xét ΔBED vuông tại E và ΔBHA vuông tại H có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó; ΔBED∼ΔBHA

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác vuông $AHB$, đường cao $HE$:

$EA.EB=HE^2$
Tương tự: $FA.FC=HF^2$

$\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HE^2+HF^2=EF^2(1)$ (định lý Pitago)

Mặt khác: Dễ thấy $HEAF$ là hình chữ nhật do có 3 góc $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90^0$

$\Rightarrow EF=HA$

$\Rightarrow EF^2=HA^2(2)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

$AH^2=HB.HC(3)$

Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HB.HC$ (đpcm)

Hình vẽ:

a)xét tam giác AHB và tam giác CAB có:

góc AHB=góc BAC=90 độ

góc B chung

\(\Rightarrow\Delta AHB\infty\Delta CAB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC\)(chỗ này là câu b luôn nhé)

c)xét tam giác AHC và tam giá BAC có:

góc AHC=góc BAC=90 độ

góc C chung

\(\Rightarrow\Delta AHC\infty\Delta BAC\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{HC}{AC}\Rightarrow AC^2=HC\cdot BC\)

d)từ câu b)(hay câu a) ta có \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{AH^2}{AC^2}=\dfrac{AB^2}{BC^2}\)(1)

từ câu c) ta có: \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow\dfrac{AH^2}{AB^2}=\dfrac{AC^2}{BC^2}\) (2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{AH^2}{AC^2}+\dfrac{AH^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2}\\ \Leftrightarrow^{ }AH^2\left(\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\right)=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1\\ \Leftrightarrow AH^2\left(\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\right)=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\)

a) xét tam giác HAC và tam giác ABC có

Góc H = Góc A (=90^o)

Góc C chung

=> tam giác HAC ~tam giác ABC (g.g)

=>\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\)

=>AH.BC=AB.AC(đpcm)

b) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có

Góc A=Góc H (=90⁰)

Góc B chung

=>tam giác ABC ~tam giác HBA (g.g)

=>\(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\)

=>AB²=BH.BC (1)

c)Tam giác HAC~ tam giác ABC (cmt)

=>\(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\)

=>AC²=HC.BC (2)

d) Từ (1) và (2) suy ra

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{BC.BH}+\dfrac{1}{BC.CH}=\dfrac{CH+BH}{BC.BH.CH}=\dfrac{BC}{BC.BH.CH}=\dfrac{1}{BH.CH}\)=>\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{BH.CH}\left(3\right)\)

Từ (1)và (3) suy ra

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)(đpcm)