Ý em là a^2+b^2+2>= 2(a+b) ?

Đề <=> a^2-2a+1+b^2-2b+1>=0

<=> (a-1)^2 + (b-1)^2>=0 (đúng)

=> bđt đúng

\(VT=\left(\dfrac{a}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{b}{c+a}+1\right)+\left(\dfrac{c}{a+b}+1\right)-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3>=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)

Ta có

2a⁴ + 2b⁴ + 8 \(\ge\)2ab + 4a + 4b

<=> (2a⁴ - 4a² + 2) + (2b⁴ - 4b² + 2) + (2a² - 4a + 2) + (2b² - 4b + 2) + (a² - 2ab + b²) + a² + b²\(\ge\)0

<=> 2(a² - 1)² + 2(b² - 1)² + 2(a - 1)² + 2(b - 1)² + (a - b)² + a² + b² \(\ge\)0 (đúng)

Áp dụng \(x^2+y^2\ge2xy\)

Ta có: \(\left(a^2+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

bạn sử dụng BĐT SVACXO

cauchy từng cặp

Ủa bài này hỏi rồi hỏi gì nữa?

cách 1:Áp dụng BĐT C-S ta có:

+)\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{4}\ge\frac{ab}{a+b}\left(1\right)\)

+)\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{4}\ge\frac{bc}{b+c}\left(2\right)\)

+)\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)

\(\Leftrightarrow\frac{c+a}{4}\ge\frac{ca}{c+a}\left(3\right)\)

Cộng 3 vế (1);(2) và (3) ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

cách 2:Bđt <=> 1/(ac+bc) + 1/(ab+ac) + 1/ (ab+bc) <= 1/(2ab) +

1/(2bc) +1/(2ca) 
 

Áp dụng bđt 1/x+1/y>=4/(x+y)(x,y>0) ta có: 
 

1/(2ab)+1/(2ac) >= 2/(ab+ac) 
 

1/(2ab)+1/(2bc) >= 2/(ab+bc) 
 

1/(2ac)+1/(2bc) >= 2/(ac+bc). 
 

Cộng vào có đpcm. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c