cho x,y,z >0 thỏa mãn :xyz=1 . c/m : \(\dfrac{x^4y}{x^2+1}+\dfrac{y^4z}{y^2+1}+\dfrac{z^4x}{z^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 7 2021 lúc 7:26
cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz =1.
CMR: \(P = \dfrac{x^4y}{x^2+1}+\dfrac{y^4z}{y^2+1}+\dfrac{z^4x}{z^2+1} ≥ \dfrac{3}{2} \)
Bài 1: cho a, b 0 và a + b 1. CMR: dfrac{1}{3a^2+b^2}+dfrac{2}{b^2+3ab}3
Bài 2: cho x, y, z 0 thỏa mãn x + y + z 0. CMR: dfrac{x}{4x+4y+z}+dfrac{y}{4y+4z+x}+dfrac{z}{4z+4x+y} dfrac{1}{3}
Bài 3: cho x, y, z 0 thỏa mãn dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}3
Tìm GTNN của dfrac{1}{sqrt{2x^2+y^2+3}}+dfrac{1}{sqrt{2y^2+z^2+3}}+dfrac{1}{sqrt{2z^2}+x^2+3}
Đọc tiếp
Bài 1: cho a, b > 0 và a + b <= 1. CMR: \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}>=3\)
Bài 2: cho x, y, z >=0 thỏa mãn x + y + z >0. CMR: \(\dfrac{x}{4x+4y+z}+\dfrac{y}{4y+4z+x}+\dfrac{z}{4z+4x+y}< =\dfrac{1}{3}\)
Bài 3: cho x, y, z > 0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\)
Tìm GTNN của \(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{2y^2+z^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{2z^2}+x^2+3}\)
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
23 tháng 8 2021 lúc 10:07
Cho 0<x,y,z<\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn xy+yz+zx=\(\dfrac{3}{4}\)
Tìm Min \(Q=\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}+\dfrac{4y^2}{y\left(3-4y^2\right)}+\dfrac{4z^2}{z\left(3-4z^2\right)}\)
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức
Cho x, y, z là các số dương (chứng minh hộ mình phần b) thôi)
a) CMR : 3left(x^2+y^2+z^2right)geleft(x+y+zright)^2
b) Cho x, y, z thỏa mãn : 3+dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}12left(dfrac{1}{x^2}+dfrac{1}{y^2}+dfrac{1}{z^2}right)
CMR : dfrac{1}{4x+y+z}+dfrac{1}{x+4y+z}+dfrac{1}{x+y+4z}ledfrac{1}{6}
Đọc tiếp
Chứng minh bất đẳng thức
Cho x, y, z là các số dương (chứng minh hộ mình phần b) thôi)
a) CMR : \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
b) Cho x, y, z thỏa mãn : \(3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=12\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\)
CMR : \(\dfrac{1}{4x+y+z}+\dfrac{1}{x+4y+z}+\dfrac{1}{x+y+4z}\le\dfrac{1}{6}\)
23 tháng 8 2021 lúc 16:50
Cho 0<x,y,z<\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn xy+yz+zx=\(\dfrac{3}{4}\)
Tìm Min Q=\(\dfrac{4x^2}{x\left(32-4x^2\right)}+\dfrac{4y^2}{y\left(32-4y^2\right)}+\dfrac{4z^2}{z\left(32-4z^2\right)}\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz.CMR
\(\dfrac{x}{1+x^2}+\dfrac{2y}{1+y^2}+\dfrac{3z}{1+z^2}=\dfrac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
cho x,y,z>0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\).CMR \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\dfrac{3}{2}\sqrt{xyz}\)
Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa
Đúng 0
Bình luận (1)
Cho x, y, z > 0 và xyz=1. CMR :
\(\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+z}\ge\dfrac{3}{2}\)
Đề sai nhé, \(\dfrac{z^2}{x+1}\) mới đúng nha
\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\left(\text{Svácxơ}\right)\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\le2\left(x+y+z\right)\)
Đúng 2
Bình luận (0)
cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\\x+y+z=1\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>0\end{matrix}\right.\)
tính P=\(x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}\)
Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)
<=> (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz = (xyz)2
<=> (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 + 2xyz(x + y + z) = (xyz)2
<=> (xy + yz + zx)2 = (xyz)2
<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)
+) Khi xy + yz + zx = -xyz
=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)
=> xy + yz + zx = xyz
<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Khi x = -y => y = 1 => P = 1
Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1
Vậy P = 1
Đúng 1
Bình luận (1)