Điểm C’ thuộc đoạn thẳng A’B’

Để B đối xứng với Cqua O thì  x O y ^  = 90⁰

Vì OB = OC nên để điểm B đối xứng với C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thằng hàng

∆ OAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của ∠ (AOB) ⇒ ∠ O 1 =  ∠ O 4  (3)

ΔOAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của  ∠ (AOC) ⇒  ∠ O 2 =  ∠ O 3  (4)

Vì B, O, C thẳng hàng nên:

∠ O 1 + ∠ O 2 + ∠ O 3 + ∠ O 4  = 180 0  (5)

Từ (3),(4) ; (5) ⇒ 2  ∠ O 1 + 2  ∠ O 2 =  180 0

⇒  ∠ O 1 + ∠ O 2 = 90 0  ⇒ ∠ (xOy) =  90 0

Vậy  ∠ (xOy) =  90 0  thì B đối xứng với C qua O

\(\Leftrightarrow\widehat{xOy}=90^0\)

B đối xứng với A qua tia 0X. Chọn H làm giao điểm của AB với 0X. Theo tính chất đường tròn. 
Ta có: AB vông góc với tia 0X. H là trung điểm của AB. 
Suy ra: 
AH=HB 
0A=0B (1) 
C đối xứng với A qua tia 0Y. Chọn K làm giao điểm của AC với 0Y. Theo tính chất đường tròn. 
Ta có: AC vông góc với tia 0Y. K là trung điểm của AC. 
Suy ra: 
AK=KC 
0A=0C (2) 
Từ (1) và (2), ta có: 
0A=0B=0C. 
Vậy kết luận 0B=0C. 
Vì A đối xứng qua OX nên góc X0A= góc X0B.(3) 
Vì A đối xứng qua OY nên góc Y0A= góc Y0C.(4) 
Mà góc X0A+A0Y=X0Y. 
Theo (3) và (4), ta có: 
B0C=2X0A+2A0Y. Hoặc B0C=2XOY.

 ta có tam giác AOC và AOB là các tam giác cân, do đó các đường Õ và Oy vừa là đường cao vừa là đường phân giác của 2 tam giác.

⇒[COyˆ=yOAˆAOxˆ= xOBˆ⇒[COy^=yOA^AOx^= xOB^ (1)

để B đối xứng với C qua O thì COAˆ+AOBˆ=180oCOA^+AOB^=180o

đồng thời : COyˆ+yOAˆ=COAˆAOxˆ+ xOBˆ=AOBˆCOy^+yOA^=COA^AOx^+ xOB^=AOB^

⇒COyˆ+yOAˆ+xOAˆ+xOBˆ=COAˆ+AOBˆ=1800⇒COy^+yOA^+xOA^+xOB^=COA^+AOB^=1800 (2)

từ (1) và (2)