\(A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{90}\)

\(=\left(3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{86}+3^{87}+3^{88}+3^{89}+3^{90}\right)\)

\(=3.\left(1+3+3^2+3^3+3^4\right)+...+3^{86}\left(1+3+3^2+3^3+3^4\right)\)

\(=3.121+...+3^{36}.121\)

\(=121\left(3+...+3^{86}\right)⋮11\left(dpcm\right)\)

\(A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{90}\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{88}+3^{89}+3^{90}\right)\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^3.3+3^3.3^2+3^3.3^3\right)+...+\left(3^{87}.3+3^{87}.3^2+3^{87}.3\right)\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+3^3\left(3+3^2+3^3\right)+...+3^{87}\left(3+3^2+3^3\right)\)

\(=39.1+3^3.39+...3^{87}.39\)

\(=39\left(3^3+1+...+3^{87}\right)\)

\(=13.3\left(3^3+1+...+3^{87}\right)⋮13\left(dpcm\right)\)

Ta có:3A=3²+3³+...+3⁹¹

3A-A=(3²+3³+...+3⁹¹)-(3+3²+...+3⁹⁰)

<=>2A=3⁹¹-3

<=>A=\(\dfrac{3^{91}-3}{2}=\dfrac{3^{88}\cdot\left(3^3-1\right)}{2}=\dfrac{3^{88}\cdot26}{2}=13\cdot3^{88}\)

=>A chia hết cho 13

Mặt khác:\(A=\dfrac{3^{91}-3}{2}=\dfrac{3^{86}\cdot\left(3^5-3\right)}{2}=\dfrac{3^{86}\cdot242}{2}=3^{86}\cdot121=3^{86}\cdot11^2\)

=>A chia hết cho 11

Vậy A chia hết cho 11 và 13

Cho A = \(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{90}\) . Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13

Bài làm:

Ta có : A = (3+3²+3³+3⁴+3⁵)+...+(3⁸⁶+3⁸⁷+3⁸⁸+3⁸⁹+3⁹⁰)

= 3(1+3+3²+3³+3⁴)+...+3⁸⁶(1+3+3²+3³+3⁴)

= 3 . 121 + 3⁶ . 121 + ... + 3⁸⁶ . 121

= 3 . 11 . 11 + 3⁶ . 11 . 11 + ... + 3⁸⁶ . 11 . 11 \(⋮\) 11

\(\Rightarrow\) A \(⋮\) 11

A = ( 3+3²+3³)+(3⁴+3⁵+3⁶)+...+(3⁸⁸+3⁸⁹+3⁹⁰)

= 3(1+3+3²) + 3⁴(1+3+3²) + ... + 3⁸⁸(1+3+3²)

= 3 . 13 + 3⁴ . 13 + ... + 3⁸⁸ . 13 \(⋮\) 13

\(\Rightarrow\) A \(⋮\) 13

Vậy A chia hết cho 11 và 13

Lời giải:

$A=(3+3^2+3^3)+(3^4+3^5+3^6)+....+(3^{88}+3^{89}+3^{90})$

$=3(1+3+3^2)+3^4(1+3+3^2)+...+3^{88}(1+3+3^2)$

$=(1+3+3^2)(3+3^4+...+3^{88})=13(3+3^4+...+3^{88})\vdots 13$
--------------------

$A=(3+3^2+3^3+3^4+3^5)+(3^6+3^7+3^8+3^9+3^{10})+...+(3^{86}+3^{87}+3^{88}+3^{89}+3^{90})$
$=3(1+3+3^2+3^3+3^4)+3^6(1+3+3^2+3^3+3^4)+...+3^{86}(1+3+3^2+3^3+3^4)$
$=(1+3+3^2+3^3+3^4)(3+3^6+...+3^{86})$

$=121(3+3^6+...+3^{86})=11.11.(3+3^6+...+3^{86})\vdots 11$

Lời giải:
$A=1+3+3^2+(3^3+3^4+3^5+3^6)+.....+(3^{87}+3^{88}+3^{89}+3^{90}$

$=13+3^3(1+3+3^2+3^3)+....+3^{87}(1+3+3^2+3^3)$

$=13+(1+3+3^2+3^3)(3^3+....+3^{87})$

$=13+40(3^3+....+3^{87})=3+10+40(3^3+...+3^{87})$ chia $5$ dư $3$

$\Rightarrow A$ không là scp.

TA CÓ:

A=3⁰+3+3²+3³+........+3¹¹

(3⁰+3+3²+3³)+....+(3⁸+3⁹+3¹⁰+3¹¹)

3(0+1+3+3²)+......+3⁸(0+1+3+3²) 

3.13+....+3⁸.13 cHIA HẾT CHO 13 NÊN A CHIA HẾT CHO 13( đpcm)

\(A=1+3+3^2+..........+3^{11}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+.........+\left(3^{10}+3^{11}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=1\left(1+3\right)+3^2\left(1+3\right)+.........+3^{10}\left(1+3\right)\)

\(\Leftrightarrow A=1.4+3^2.4+.......+3^{10}.4\)

\(\Leftrightarrow A=4\left(1+3^2+..........+3^{10}\right)⋮4\left(đpcm\right)\)

A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹

A = ( 1 + 3 ) + ( 3² + 3³ ) + ... + ( 3¹⁰ + 3¹¹ )

A = 4 + 3² . ( 1 + 3 ) + ... + 3¹⁰ . ( 1 + 3 )

A = 4 + 3² . 4 + ... + 3¹⁰ . 4

A = 4 . ( 1 + 3² + ... + 3¹⁰ ) \(⋮\) 4 ( Vì trong tích có một thừa số chia hết cho 4 )

~ Chúc bạn học giỏi ! ~

A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹

A = ( 1 + 3 + 3² ) + ... + ( 3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹ )

A = 13 + ... + 3⁹ . ( 1 + 3 + 3² )

A = 13 + ... + 3⁹ . 13

A = 13 . ( 1 + ... + 3⁹ ) \(⋮\) 13 ( Vì trong tích có một thừa số chia hết cho 13 )

~ Chúc bạn học giỏi ! ~

B = (1 + 3) + (3²+3³)+.....+(3⁸⁹+3⁹⁰)

  = 4 + 3² .(1 + 3) + .....+3⁹⁰.(1+3)

 = 1 .4 + 3².4 + ..... +3⁹⁰.4

= 4.(1 + 3² + .... +3⁹⁰) chia hết cho 4

\(S=3+3^2+3^3+3^4+....+3^{89}+3^{90}\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{88}+3^{89}+3^{90}\right)\)

\(==3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+3^{88}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=\left(1+3+3^2\right).\left(3+3^4+....+3^{88}\right)\)

\(=13\left(3+3^4+...+3^{88}\right)\)\(⋮\)\(13\)

1:\(A=1+3+3^2+3^3+...+3^{11}\)

\(A=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{10}+3^{11}\right)\)

\(A=4+3^2\cdot\left(1+3\right)+...+3^{10}\cdot\left(1+3\right)\)

\(A=4+3^2\cdot4+....+3^{10}\cdot4\)

\(A=4\cdot\left(1+3^2+...+3^{10}\right)\) chia hết cho 4

Vì ta có 4 chia hết cho 4 => A có chia hết cho 4

Vậy A chia hết cho 4

2:

\(C=5+5^2+5^3+...+5^8\) chia hết cho 30

\(C=\left(5+5^2\right)+...+\left(5^7+5^8\right)\)

\(C=30+5^2\cdot\left(5+5^2\right)+...+5^6\cdot\left(5+5^2\right)\)

\(C=30\cdot1+5^2\cdot30+...5^6\cdot30\)

\(C=30\cdot\left(5^2+...+5^6\right)\)

Vì ta có 30 chia hết cho 30 nên suy ra C có chia hết cho 30

Vậy C có chia hết cho 30

a/ Ta có: 7a+4=3a+4a+4=3a+4(a+1)

Do a+1\(⋮\)3 (gt) và 3a\(⋮\)3 \(\forall\)a\(\in\)Z

Nên 7a+4 \(⋮\)3

b/ Ta có 2+a\(⋮\)11(gt) và 35-b\(⋮\)11(gt)

Suy ra: 2+a-(35-b)\(⋮\)11 tương đương với a+b-33\(⋮\)11

Mà -33 \(⋮\)11 nên a+b\(⋮\)11

a; Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6

Ta có 1; 2 là hai số tự nhiên liên tiếp

Tích của hai số trên là: 1.2 = 2 không chia hết cho 6

Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6 là điều không thể. 

A = \(\overline{aaaa}\) ⋮ 101

A = a x 1111 

A = a x 101 x 11 ⋮ 101 (đpcm)

C = (\(\overline{abc}\) - \(\overline{cba}\)) ⋮ 9

C = a x 100 + b x 10 + c - c x 100 - b x 10 -  a

C = a x (100 - 1) + b x (10 - 10) - c x (100 - 1)

C  = a x 99  +  b x 0 - c x 99

C =  (a x 99 - c x 99) + b x 0

C =  99 x ( a - c) + 0

C = 9 x 11 x (a - c) ⋮ 9 (đpcm)