Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD.

Ta có AH ⊥ (BCD). Do đó

Vậy

Mặt khác OC 2 = OH 2 + HC 2

hay OC = OB = OD = (a 2 )/2

Vì BD = BC = CD = a nên các tam giác DOB, BOC, COD là những tam giác vuông cân tại O. Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB. Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và IC 2 = IH 2 + HC 2

Chú ý rằng IH = OH/2 (vì HC′ = HC/2)

Do đó:

Đáp án là A

Chọn A.

và  nên 

Pitago đảo dễ dàng suy ra tam giác ACD và tam giác ABD vuông có chung cạnh huyền AD.

Vậy tâm cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm O của AD.

Chọn A.

và 

nên 

Pitago đảo dễ dàng suy ra tam giác ACD và tam giác ABD vuông có chung cạnh huyền AD.

Vậy tâm cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm O của AD.

Đáp án C

Ta có A D 2 = A B 2 + B D 2 = A C 2 + C D 2

⇒ Δ A B D , Δ A C D vuông cân tại B, C

Mà O là trung điểm cạnh A D ⇒ O A = O B − O C

⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Dễ thấy O A = O B − O C  và  Δ A B C  đều cạnh a

⇒ khối chóp O . A B C  là hình chóp tam giác đều

Gọi E là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE\perp BC\\DE\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(ADE\right)\)

Trong tam giác cân ADE (cân tại E), kẻ \(DH\perp AE\Rightarrow DH\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=45^0\Rightarrow\Delta ADE\) vuông cân tại E 

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm ABC và BCD. Trong mp (ADE), qua G kẻ đường thẳng d song song DE, qua G' kẻ d' song song AE. Gọi O là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Ta có: \(AE=DE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(AG=\dfrac{2}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) ; \(OG=OG'=\dfrac{1}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(R=OA=\sqrt{AG^2+OG^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)