a, Cho a \(\ge\)3. Tìm min M= a + \(\dfrac{1}{a}\)
b, Cho a \(\ge\) 2. Tìm min N = a + \(\dfrac{1}{a^2}\)
1. Cho a,b,c t/m: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge\dfrac{4}{3}\\b\ge\dfrac{4}{3}\\c\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) và \(a+b+c=6\)
\(CMR:\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{6}{5}\)
2. Cho x,y >0 t/m: \(2x+3y-13\ge0\)
Tìm min \(P=x^2+3x+\dfrac{4}{x}+y^2+\dfrac{9}{y}\)
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Cho \(a;b;c\ge\dfrac{4}{3}\) thỏa mãn \(a+b+c=6\)
Tìm min: \(A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\)
Lời giải:
Xét:
$\frac{a}{a^2+1}-\left(\frac{16}{25}-\frac{3}{25}a\right)=\frac{(a-2)^2(3a-4)}{25(a^2+1)}\geq 0$ với mọi $a\geq \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1}\geq \frac{16}{25}-\frac{3}{25}a$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:
$A\geq \frac{48}{25}-\frac{3}{25}(a+b+c)=\frac{6}{5}$
Vậy $A_{\min}=\frac{6}{5}$.
Giá trị này đạt tại $a=b=c=2$
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c\(\ge\)6. Tìm min
\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a+c}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a+b}}\)
Ta có \(a^2+\dfrac{1}{b+c}=a^2+\dfrac{1}{6-a}\)
Mà \(a+b+c=6\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow a^2+\dfrac{1}{6-a}\ge2^2+\dfrac{1}{6-2}=\dfrac{17}{4}\)
\(\Rightarrow P=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{6-a}}\ge\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
+) Tìm min
\(E=\dfrac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}\)
+) Tìm max và min
\(F=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\)
Trong đó a,b,c>0 và \(min\left\{a,b,c\right\}\ge\dfrac{1}{4}max\left\{a,b,c\right\}\)
Bài 1: Cho x,y,z >0 thỏa mãn:
xy+yz+xz \(\ge\)2xyz
Tìm Max A= (x-1)(y-1)(z-1)
Bài 2: Cho a,b,c >0 thỏa mãn:
\(\dfrac{c+1}{c+3}\ge\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{3}{b+4}\)
Tìm Min M= (a+1)(b+1)(c+1)
1. Vì x, y, z > 0
\(xy+yz+zx\ge2xyz\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\)
Suy ra:
\(\dfrac{1}{x}\ge1-\dfrac{1}{y}+1-\dfrac{1}{z}=\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}{yz}}\). (1)
Tương tự \(\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}{zx}}\) (2)
và \(\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}}\) (3)
Nhân (1), (2), (3) với nhau theo vế ta được
\(\dfrac{1}{xyz}\ge\dfrac{8\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{c+1}{c+3}\ge\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{3}{b+4}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{2}{c+3}\ge\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{3}{b+4}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{a+2}\ge\dfrac{3}{b+4}+\dfrac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\dfrac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\)
Hay \(\dfrac{a+1}{a+2}\ge2\sqrt{\dfrac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\) (1)
Tương tự \(\dfrac{b+1}{b+4}\ge2\sqrt{\dfrac{2}{\left(c+3\right)\left(a+2\right)}}\) (2)
và \(\dfrac{c+1}{c+3}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)}}\) (3)
Nhân (1), (2), (3) vế theo vế
\(\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)\left(c+3\right)}\ge8.\dfrac{6}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)\left(c+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge48\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=5\\c=3\end{matrix}\right.\)
a) cho a\(\ge\)3.Tìm min\(P=a+\frac{1}{a}\)
b) cho a\(\ge\)2. Tìm min \(S=a+\frac{1}{a^2}\)
a) giả sử \(x\ge y\ge3\)
P(x)=x+1/x
P(y)=y+1/y
P(x)-p(y)=(x+1/x)-(y+1/y)=(x-y)+(1/x-1/y)=A
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\hept{\begin{cases}x-y\le0\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\le0\end{cases}\Rightarrow A\le0}\)
Kết luận a cành lớn thì P(a) càng lớn
=> Pmin=P(3)=3+1/3=10/3
Ok ta cần chứng minh A>=0
\(A=\left(x-y\right)+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=\left(x-y\right)+\frac{\left(y-x\right)}{xy}=\left(x-y\right)-\frac{\left(x-y\right)}{xy}\\ \)
\(A=\left(x-y\right)\left[1-\frac{1}{xy}\right]\)
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y\ge0\\xy\ge9\\\frac{1}{xy}\le\frac{1}{9}< 1\Rightarrow1-\frac{1}{xy}>0\end{cases}}\Rightarrow A\ge0\)
a.
Xét x1 > x2 >= 3
P(x1) - P(x2) = x1 - x2 + \(\frac{1}{x_1}\) - \(\frac{1}{x_2}\)
= \(\frac{x_1^2x_2-x_1x_2^2+x_2-x_1}{x_1x_2}\)
= \(\frac{x_1x_2\left(x_1-x_2\right)+x_2-x_1}{x_1x_2}\)
= \(\frac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1x_2-1\right)}{x_1x_2}\)> 0 (vì x1 > x2. x1x2 > 9)
Vậy, với a > 3 => a+1/a > 3+1/3
=> MinP = 3+1/3
b. Xét x > y >= 2
S(x) - S(y) = x - y + \(\frac{1}{x^2}\) - \(\frac{1}{y^2}\)
= \(\frac{x^3y^2-x^2y^3+y^2-x^2}{x^2y^2}\)
= \(\frac{x^2y^2\left(x-y\right)+\left(y-x\right)\left(y+x\right)}{x^2y^2}\)
= \(\frac{\left(x-y\right)\left(x^2y^2-\left(x+y\right)\right)}{x^2y^2}\)> 0
Vì x > y >= 2
đặt x = 2+a (a>0)
y = 2+b (b>=0)
=> (2+a)2(2+b)2 - 4 - a - b > 0 (Lấy bình phương rồi nhân vào sẽ rút được dấu - tại - 4 - a - b)
Vậy, với x > y >= 2 => S(x) > S(y)
=> MinS = S(2) = 2 + 1/4.
1) cho x+2y=4 Tìm a, Max của M với M= xy
b, Min của N với N= x2 +y2
2, Cho a, b \(\ge\)0 . CMR a, \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{^{ }2}\)
b. \(\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
c., a3 + b3 \(\ge\) ab(a+b)
mọi người ơi mn giúp mk với mk đg cần gấp ạ
2)a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c)\(a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
b)\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3a^b+3ab^2\\ \Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
\(x+2y=4\Leftrightarrow x=4-2y\)
\(\Rightarrow xy=y\left(4-2y\right)=-2y^2+4y=-2\left(y-1\right)^2+2\le2\)
Vậy max M là 2 khi y=1, x= 2
2)Tương tự
Cho a>0. Tìm min P biết: \(P=a+\dfrac{2}{a+1}+3\); min X biết: \(X=\dfrac{a^2+1}{a-1}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P=(a+1)+\frac{2}{a+1}+2\geq 2\sqrt{(a+1).\frac{2}{a+1}}+2=2\sqrt{2}+2$
Vậy $P_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị này đạt tại $(a+1)^2=2; a>0\Leftrightarrow a=\sqrt{2}-1$
------------------------
Bổ sung ĐK: $a>1$
$X=\frac{a^2-1+2}{a-1}=a+1+\frac{2}{a-1}$
$=(a-1)+\frac{2}{a-1}+2$
$\geq 2\sqrt{2}+2$ (AM-GM)
Vậy $X_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị đạt tại $(a-1)^2=\sqrt{2}; a>1\Leftrightarrow a=\sqrt{2}+1$
bài 1chứng minh bất đẳng thức
a,a^2 + b^2 \(\ge\)1/2 vs a+b=1
b,a^2+b^2+c^2\(\ge\)1/3 vs a+b+c=1
bài 2a, cho a>0 ,b>a và 2a+b=0 tìm min của \(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b}=1\)
b, cho a+b+c=4 tìm mã của ab+bc+ac
1a)\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{1}{4}\)(1)
Lại có:\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
1b)\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{1}{6}\)(2)
Lại có:\(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\dfrac{1}{6}\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
2b)Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(bđt phụ)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{4^2}{3}=\dfrac{16}{3}\)
\(\Rightarrow MAXA=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)