Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
a. Chứng minh \(\left(b-c\right)^2< a^2\)
b. Từ đó suy ra : \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
non vãi loonf đến câu này còn đéo bt ko bt đi học để làm gì
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh \(a^2+b^2+c^2\le2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu "=" ko xảy ra ??? xem lại đề
Theo bđt tam giác ta có :
\(a< b+c\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2< ab+ac\)
\(b< c+a\)\(\Leftrightarrow\)\(b^2< bc+ab\)
\(c< a+b\)\(\Leftrightarrow\)\(c^2< ac+bc\)
Cộng theo vế từng bđt trên ta có :
\(a^2+b^2+c^2< ab+ac+bc+ab+ac+bc=2\left(ab+bc+ca\right)\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) Chứng minh (b - c)2 < a2
b) Từ đó suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0
Ta có: (b – c)2 < a2
⇔ a2 – (b – c)2 > 0
⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0
⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).
Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)
b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :
( a – b)2 < c2 (2)
(c – a)2 < b2 (3)
Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2
⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2
⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh các phương trình sau có
nghiệm
a \(a^2x^2+\left(a^2+b^2-c^2\right)x+b^2=0\)
b \(x^2+\left(a+b+c\right)x+\left(ab+bc+ac\right)=0\)
a.
\(\Delta=\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2=\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)\)
\(=\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\Rightarrow a-b-c< 0\\a+c>b\Rightarrow a-b+c>0\\a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\)
\(\Rightarrow\Delta< 0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm
Đề bài sai
b.
\(\Delta=\left(a+b+c\right)^2-4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)
Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)
\(\Rightarrow\Delta< 0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm
Đề bài sai
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CM
\(a\left(1+b^2\right)+b\left(1+c^2\right)+c\left(1+a^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a,b,c > 0
Áp dụng bđt Cauchy : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)\(\Rightarrow a\left(1+b^2\right)\ge2ab\)
Tương tự : \(b\left(1+c^2\right)\ge2bc\) , \(c\left(1+a^2\right)\ge2ac\)
Cộng các bđt trên ta được đpcm
CHO TAM GIÁC ABC, ĐẶT ĐỘ DÀI 3 CẠNH BC=a, CA=b, AB=c
CHO BIẾT: \(\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}=\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}\)
A) CM TAM GIÁC ABC CÂN
B) NẾU CHO THÊM: \(c^4+abc\left(a+b\right)=c^2\left(a^2+b^2\right)+\left(c+b\right)\left(c-b\right)bc+\left(c-a\right)\left(c+a\right)ac\) .TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC ABC
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh:\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2<2\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (1)
Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có :
\(a^2< a.\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự :
\(b^2< ab+bc\)
\(c^2< ca+bc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) (2)
Từ (1) và (2)
=> Đpcm
cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
Đặt \(P=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
Ta có:
\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự và cộng lại ta được BĐT bên trái
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bên phải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(P^2\le3\left(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\right)=6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Mặt khác do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ac>c^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow P^2< 3\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , chứng minh rằng :
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có :
\(\begin{cases}a+b>c\\c+a>b\\b+c>a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ac>a^2\end{cases}\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>2\left(ab+bc+ac\right)\)