cho M =1+3+32+33+......+3118+3119
N=\(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{3^2}\)+\(\dfrac{1}{4^2}\)+......+\(\dfrac{1}{2009^2}\)+\(\dfrac{1}{2010^2}\)
CHỨNG TỎ RẰNG
a)M\(⋮\)13
b)N<1
Cho N = \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2009^2}+\dfrac{1}{2010^2}\).Chứng minh N <1
1. \(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{99}}+\dfrac{1}{2^{100}}+\dfrac{1}{2^{100}}\)
2. So sánh: \(\dfrac{2008}{2009}+\dfrac{2009}{2010}\) và \(\dfrac{2008+2009}{2009+2010}\)
3. Rút gọn phân số: A = \(\dfrac{11+12+13+...+89}{21+22+23+...+99}\)
4. Tìm các cặp (x, y) nguyên thỏa mãn: \(\left|4y^2-3\right|+\left|5-2x\right|=2013\)
5. Tìm các số nguyên n để \(\dfrac{n+1}{n-2}\) có giá trị nguyên
6. Tìm \(x\in Z\) để \(B=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2}{x+1}\) là số nguyên
2, ta thấy:
\(\dfrac{2008}{2009}< \dfrac{2008}{2009+2010}\left(1\right)\)
\(\dfrac{2009}{2010}< \dfrac{2009}{2009+20010}\left(2\right)\)
từ (1) và (2) cộng vế với vế ta đc :\(\dfrac{2008}{2009}+\dfrac{2009}{20010}< \dfrac{2008}{2009+2010}+\dfrac{2009}{2009+2010}=\dfrac{2008+2009}{2009+2010}\)
a, Tính: M = \(1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{35}+...+\dfrac{3}{9603}+\dfrac{3}{9999}\)
b, Chứng tỏ: S = \(\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}+...+\dfrac{1}{\left(2n\right)^2}< \dfrac{1}{4}\left(n\in N,n\ge2\right)\)
a: \(M=\dfrac{6}{5}+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{2}{5\cdot7}+...+\dfrac{2}{97\cdot99}+\dfrac{2}{99\cdot101}\right)\)
\(=\dfrac{6}{5}+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{101}\right)\)
\(=\dfrac{6}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{3}{202}=\dfrac{150}{101}\)
b:
a)Cho A= \(\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{2016}{2017}+\dfrac{2017}{2018}+\dfrac{2018}{2019}+\dfrac{2019}{2020}+\dfrac{2021}{2015}\)
Chứng minh A>6
b)Cho C=\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+....+\dfrac{1}{3^{2010}}\)
Chứng minh rằng C<1
Cho D=\(\dfrac{1}{1^2.2^3}+\dfrac{5}{2^2.3^3}+\dfrac{7}{3^2.4^2}+.....+\dfrac{4019}{2009^2.2010^2}\)
Chứng minh rằng D<1
mấy bạn giúp mình nha. Mình cần gấp lắm TT^TT
mấy bạn ơi câu b) là chứng minh C<\(\dfrac{1}{2}\)nha
\(A=1-\dfrac{3}{4}+(\dfrac{3}{4})^2-(\dfrac{3}{4})^3+(\dfrac{3}{4})^4-...-(\dfrac{3}{4})^{2009}+(\dfrac{3}{4})^{2010}\)
Chứng tỏ A không phải là số nguyên
\(A=\dfrac{1.\left(1-\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{2011}\right)}{\left(1-\left(-\dfrac{3}{4}\right)\right)}=\dfrac{4}{7}\)
Vậy nó không phải số nguyên
Bài 1.Tìm x,y:
a)( 3-x).( xy + 5) = 1
b) x=\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\),trong đó a,b,c là số nguyên dương.
Bài 2. So sánh:
a) A=\(\dfrac{2008^{2009}+2}{2008^{2009}-1}\) và B=\(\dfrac{2008^{2009}}{2008^{2009}-3}\)
b) A=\(\dfrac{2015^{2015}+1}{2016^{2016}+1}\) và B=\(\dfrac{2015^{2014}+1}{2015^{2015}+1}\)
Bài 3. Chứng tỏ rằng: \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{64}< \dfrac{1}{3}\)
Bài 4: Cho n điểm: A1;A2;A3;.......;An ( n lớn hơn hoac =2), nối từng cap 2 điểm trong điểm đó thành các đoạn thang.
a) Kể tên các đoạn thang, nếu n=5
b) Tính số đoạn thang, nếu n=15
c) Tính n nếu số đoạn thẳng là 200?
GIÚP MK NHA< MK ĐANG CẦN RẤT GẤP!!!
Câu 1 . Cho \(a,b\ge3.\) Chứng minh rằng
\(A=21\left(a+\dfrac{1}{b}\right)+3\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\ge80\)
Câu 2. Giải phương trình :
\(x^2+6x-1=2\sqrt{5x^3-3x^2+3x-2}\)
Câu 3. Tìm GTNN của
\(Q=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)
Câu 4 . Giải phương trình
\(\dfrac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\dfrac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\dfrac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\dfrac{3}{4}\)
Câu 1:
\(A=21\left(a+\frac{1}{b}\right)+3\left(b+\frac{1}{a}\right)=21a+\frac{21}{b}+3b+\frac{3}{a}\)
\(=(\frac{a}{3}+\frac{3}{a})+(\frac{7b}{3}+\frac{21}{b})+\frac{62}{3}a+\frac{2b}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{a}{3}+\frac{3}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{3}.\frac{3}{a}}=2\)
\(\frac{7b}{3}+\frac{21}{b}\geq 2\sqrt{\frac{7b}{3}.\frac{21}{b}}=14\)
Và do $a,b\geq 3$ nên:
\(\frac{62}{3}a\geq \frac{62}{3}.3=62\)
\(\frac{2b}{3}\geq \frac{2.3}{3}=2\)
Cộng tất cả những BĐT trên ta có:
\(A\geq 2+14+62+2=80\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=3$
Câu 2:
Bình phương 2 vế ta thu được:
\((x^2+6x-1)^2=4(5x^3-3x^2+3x-2)\)
\(\Leftrightarrow x^4+12x^3+34x^2-12x+1=20x^3-12x^2+12x-8\)
\(\Leftrightarrow x^4-8x^3+46x^2-24x+9=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-4x)^2+6x^2+24(x-\frac{1}{2})^2+3=0\) (vô lý)
Do đó pt đã cho vô nghiệm.
Bài 1: Chứng tỏ rằng :
\(\dfrac{11}{15}< \dfrac{1}{21}+\dfrac{1}{22}+......+\dfrac{1}{60}< \dfrac{3}{2}\)
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+......+\dfrac{1}{n^2}< 1\)
\(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{144}+\dfrac{1}{196}< \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{85}+\dfrac{1}{113}< \dfrac{1}{2}\)
bài 2
a;đặt biểu thức là S | |
S < 1/1.2 + 1/2.3 + .......1/(n-1)n | |
= 1- 1/2 +1 /2 -1/3+........ + 1/n-1 - 1/n | |
= 1 -1/n <1 |
|
vậy S < 1 | |
1. Cho N=\(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{60}\)
CMR \(\dfrac{3}{5}< N< \dfrac{4}{5}\)
2. Cho M=\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}-\dfrac{4}{3^4}+...+\dfrac{29}{3^{29}}-\dfrac{30}{3^{30}}\)
CMR \(M< \dfrac{3}{16}\)
3. Cho Q=\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{26}{27}+...+\dfrac{3^{2021}-1}{3^{2021}}\)
CMR \(Q>\dfrac{4041}{2}\)