1) Xét x=7k (k ∈ Z) thì x³ ⋮ 7

Xét x= \(7k\pm1\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm2\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Xét x=\(7k\pm3\)\(\) thì x³ ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.

Do vế trái của pt chia cho 7 dư 0,1,6 còn vế phải của pt chia cho 7 dư 2. Vậy pt không có nghiệm nguyên.

3) a, Ta thấy x,y,z bình đẳng với nhau, không mất tính tổng quát ta giả thiết x ≥ y ≥ z > 0 <=> \(\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{z}\) ,ta có: 

\(1=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{3}{z}< =>z\le3\)

Kết luận: nghiệm của pt là ( x;y;z): (6:3:2), (4;4;2), (3;3;3) và các hoán vị của nó (pt này có 10 nghiệm).

bài này làm thế này: 

Do vai trò của x,y,z là như nhau nen giả sử z ≥ y ≥ x ≥ 1 

Ta sẽ thử trực tiếp một vài trường hợp: 

- Nếu x = 1 thì 1/y + 1/z = 0 ( vô nghiệm) 

-Nếu x = 2 thì 1/y + 1/z = 1/2 <=> 2y + 2z = yz <=> (y - 2)(z - 2) = 4 

Mà :0 ≤ y - 2 ≤ z - 2 và (y- 2), (z - 2) phải là ước của 4 

Do đó ta có các trường hợp: 

{ y - 2 = 1```````{ y = 3 
{ z - 2 = 4 <=>{ z = 6 

{ y- 2 = 2````````{ y = 4 
{ z - 2 = 2 <=>{ z = 4 

- Nếu x = 3 thì 1/y + 1/z = 2/3 

+ Nếu y = 3 thì z = 3 

+ Nều y ≥ 4 thì 1/y + 1/z ≤ 1/4 + 1/4 = 1/2 < 1/3 

=> phương trình vô nghiệm 

♥ Nếu x = 4 thì 1/x + 1/y + 1/z ≤ 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 < 1 

=>pt vô nghiệm 

Vậy tóm lại phương trình đã cho có 10 nghiệm (bạn tự liệt kê)

\(VD1\)

Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\le\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\le4,5\)

\(\Rightarrow x\le4,5^2\)

\(\Rightarrow x\le20,25\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0,1,4,9,16\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0,1,2,3,4\right\}\)

TH1 : \(x=0\Rightarrow\sqrt{x}=0\Rightarrow\sqrt{y}=9\Rightarrow y=81\)

TH2 : \(x=1\Rightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow\sqrt{y}=8\Rightarrow y=64\)

Th3 : \(x=4\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow\sqrt{y}=7\Rightarrow y=49\)

Th4 : \(x=9\Rightarrow\sqrt{x}=3\Rightarrow\sqrt{y}=6\Rightarrow y=36\)

Th5 : \(x=16\Rightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow\sqrt{y}=5\Rightarrow y=25\)

Vì x , y có vai trò như nhau nên các trường hợp còn lại chỉ là đổi chỗ giữa x và y . ( vd y = 0 thì x = 81 )

KL....
 

VD2: Ta có:

x+y+z=xyz ( 1 )

Chia 2 vế của ( 1 ) cho xyz\(\ne\)0 ta đc:

\(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=1\)

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\)thì ta có:

\(1=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\le\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{3}{z^2}\)

\(\Rightarrow1\le\frac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Leftrightarrow z=1\)

Thay z=1 vào ( 1 ) ta đc:

x+y+1=xy

\(\Leftrightarrow\)xy -x - y = 1

\(\Leftrightarrow\)x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) = 2

\(\Leftrightarrow\)( x - 1 ) ( y - 1 ) =2

Mà \(x-1\ge y-1\)nên \(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy nghiệm dương của phương trình là các hoán vị của 1, 2, 3

Do x,y có vai trò bình đẳng như nhau,giả sử \(x\le y\le z\)

Ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=z\)

\(\Rightarrow x+y=xyz\)

\(\Rightarrow xyz\le2y\)

\(\Rightarrow xz\le2\)

\(\Rightarrow x=1;z=2\left(h\right)x=2;z=1\)

Với \(x=1;z=2\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=2;z=1\Rightarrow y=2\left(TM\right)\)

Vậy cặp số \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn là:\(\left(1;1;2\right);\left(2;2;1\right)\).

P/S:Em nghĩ câu kết luận ko cần "và các hoán vị của x,y" nữa ạ vì x=y rồi ạ.Nếu sai ở đâu mong mọi người góp ý.

\(\dfrac{5}{x}-\dfrac{y}{4}=\dfrac{1}{12}\Leftrightarrow\dfrac{20-xy}{4x}=\dfrac{1}{12}\Leftrightarrow240-12xy=4x\Leftrightarrow240-12xy-4x=0\Leftrightarrow60-3xy-x=0\Leftrightarrow-3xy-x=-60\Leftrightarrow-x\left(3y+1\right)=60\)Đến đây do x,y nguyên nên bạn lập bảng xét ước nhá, lưu ý 3y + 1 chia 3 dư 1 để bớt trường hợp xét nhá.

\(\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

\(\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{41}+\dfrac{z}{49}=\dfrac{1000}{2009}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{287x+49y+41z}{2009}=\dfrac{1000}{2009}\)

\(\Leftrightarrow287x+49y+41z=1000\)

\(\Leftrightarrow41z=1000-287x-49y\le1000-287-49=664\) do \(x,y\) nguyên dương. (1)

Mặt khác ta cũng có \(1000\equiv6\left(mod7\right);287\equiv0\left(mod7\right);49\equiv0\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow1000-287x-49y\equiv6\left(mod7\right)\)

Mà \(41\equiv6\left(mod7\right)\Rightarrow z\equiv1\left(mod7\right)\) (2)

Từ (1) suy ra \(1\le z\le\dfrac{664}{41}\le16\) (3)

Từ (2),(3) suy ra \(z\in\left\{8;15\right\}\)

+) \(z=8\Leftrightarrow287x+49y=672\)

\(\Leftrightarrow41x+7y=96\)

Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)

+) \(z=15\Leftrightarrow287x+49y=385\)

\(\Leftrightarrow41x+7y=55\)

Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Vậy tập nghiệm nguyên dương của phương trình là \(\left(x;y;z\right)\in\left\{\left(2;2;8\right);\left(1;2;15\right)\right\}\)

 Cách 1 (đồ thị): Đầu tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\\\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}\le1\end{matrix}\right.\) như sau:

 Sau đó ta tìm tất cả các điểm nguyên nằm ở miền trong tam giác OAB. Ta nhận thấy các điểm này là \(\left(1,1\right);\left(1,2\right);\left(2,1\right)\). Vậy các nghiệm (x; y) của bpt là \(\left(1;1\right),\left(1;2\right),\left(2;1\right)\)

Cách 2: (đại số)

 Ta có \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}\le1\)  nên \(\dfrac{x}{3}< 1\) \(\Leftrightarrow x< 3\) \(\Rightarrow x\in\left\{1,2\right\}\)

\(\dfrac{y}{4}< 1\Rightarrow y< 4\Rightarrow y\in\left\{1,2,3\right\}\)

 Thử lại, ta thấy chỉ có các cặp \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right),\left(1;2\right),\left(2;1\right)\) là thỏa mãn. Vậy...