\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m-1\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y=4m-2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y+x+2y=4m-2+3m+2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\m+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\2y=2m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(x^2+y^2+3\\ =m^2+\left(m+1\right)^2+3\\ =m^2+m^2+2m+1+3\\ =2m^2+2m+4\\ =2\left(m^2+m+2\right)\)

\(=2\left(m^2+m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}\right)\)

\(=2\left[\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\right]\)

\(=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}\ge\dfrac{7}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy ...

b, \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\mx-y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\m\left(5+2y\right)-y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\5m+2my-y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\2my-y=4-5m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\y\left(2m-1\right)=4-5m\end{matrix}\right.\)

Hpt trên có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) 2m - 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)

Khi đó ta có hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2.\dfrac{4-5m}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vậy với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) thì hpt trên có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vì x, y trái dấu nên ta xét 2 trường hợp

Th1: x > 0; y < 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2m-1}>0\\\dfrac{4-5m}{2m-1}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1>0\\4-5m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{1}{2}\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) m > \(\dfrac{4}{5}\) (Thỏa mãn)

Th2: x < 0; y > 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2m-1}< 0\\\dfrac{4-5m}{2m-1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1< 0\\4-5m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{2}\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4}{5}< m< \dfrac{1}{2}\) (Vô lý)

Vậy m > \(\dfrac{4}{5}\) thì hpt có nghiệm duy nhất và thỏa mãn x, y trái dấu

c, Từ b ta có:

 Với x \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) hpt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vì x = |y| \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{3}{2m-1}=\left|\dfrac{4-5m}{2m-1}\right|\)

Xét các trường hợp:

Th1: \(\dfrac{3}{2m-1}=\dfrac{4-5m}{2m-1}\) 

\(\Leftrightarrow\) 3 = 4 - 5m (Vì m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow\) 5m = 1

\(\Leftrightarrow\) m = \(\dfrac{1}{5}\) (TM)

Th2: \(\dfrac{3}{2m-1}=\dfrac{5m-4}{2m-1}\)

\(\Leftrightarrow\) 3 = 5m - 4 (Vì m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow\) 5m = 7

\(\Leftrightarrow\) m = \(\dfrac{7}{5}\) (TM)

Vậy với m = \(\dfrac{1}{5}\); m = \(\dfrac{7}{5}\) thì hpt có nghiệm duy nhất và thỏa mãn x = |y|

Chúc bn học tốt!

Nguyễn Lê Phước Thịnh , Hồng Phúc , Nguyễn Thị Thuỳ Linh , Tan Thuy Hoang , Nguyễn Duy Khang , Nguyễn Trần Thành Đạt 

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2}\ne\dfrac{-2}{-m}\)

=>\(m^2\ne4\)

=>\(m\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-2y=2m-1\\2x-my=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2y=mx-2m+1\\2x-my=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\2x-m\left(x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\right)=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\2x-x\cdot\dfrac{m^2}{2}+m^2-\dfrac{1}{2}m=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\x\left(2-\dfrac{m^2}{2}\right)=-m^2+\dfrac{1}{2}m-3m+9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\x\cdot\dfrac{4-m^2}{2}=-m^2-\dfrac{5}{2}m+9=\dfrac{-2m^2-5m+18}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-2m^2-5m+18}{4-m^2}=\dfrac{2m^2+5m-18}{m^2-4}\\y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\left(2m+9\right)\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}=\dfrac{2m+9}{m+2}\\y=\dfrac{2m+9}{m+2}\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+9}{m+2}\\y=\dfrac{2m^2+9m-2m\left(m+2\right)+m+2}{2\left(m+2\right)}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+9}{m+2}\\y=\dfrac{2m^2+10m+2-2m^2-4m}{2\left(m+2\right)}=\dfrac{6m+2}{2\left(m+2\right)}=\dfrac{3m+1}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Để x,y nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}2m+9⋮m+2\\3m+1⋮m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2m+4+5⋮m+2\\3m+6-5⋮m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5⋮m+2\\-5⋮m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(5⋮m+2\)

=>\(m+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(m\in\left\{-1;-3;3;-7\right\}\)

1: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{1}{-1}=-1\)

=>\(m\ne-1\)

2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\mx-y=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+mx-y=1+2m\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(m+1\right)=2m+1\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+1}{m+1}\\y=1-x=1-\dfrac{2m+1}{m+1}=\dfrac{m+1-2m-1}{m+1}=-\dfrac{m}{m+1}\end{matrix}\right.\)

x+2y=2

=>\(\dfrac{2m+1}{m+1}+\dfrac{-2m}{m+1}=2\)

=>\(\dfrac{1}{m+1}=2\)

=>\(m+1=\dfrac{1}{2}\)

=>\(m=-\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\)

Vì \(\dfrac{3}{1}\ne\dfrac{-1}{2}\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m-1\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m-1\\3x+6y=9m+6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-7y=2m-1-9m-6=-7m-7\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=m+1\\x=3m+2-2m-2=m\end{matrix}\right.\)

\(y-\sqrt{x}=1\)

=>\(m+1-\sqrt{m}=1\)

=>\(m-\sqrt{m}=0\)

=>\(\sqrt{m}\left(\sqrt{m}-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3m-1\\x-2y=-m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\\dfrac{3m-1-y}{2}-2y=-m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\3m-1-y-4y=-2m-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\5y=5m+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-m-1}{2}\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt trên có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: y = x² \(\Leftrightarrow\) m + 1 = (m - 1)² \(\Leftrightarrow\) m + 1 = m² - 2m + 1

\(\Leftrightarrow\) m² - 3m = 0

\(\Leftrightarrow\) m(m - 3) = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 0; m = 3 thì hpt trên có nghiệm duy nhất và thỏa mãn y = x²

Chúc bn học tốt!

a: Khi m=2 thì hệ sẽ là;

2x-y=4 và x-2y=3

=>x=5/3 và y=-2/3

b:  mx-y=2m và x-my=m+1

=>x=my+m+1 và m(my+m+1)-y=2m

=>m^2y+m^2+m-y-2m=0

=>y(m^2-1)=-m^2+m

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m^2-1<>0

=>m<>1; m<>-1

=>y=(-m^2+m)/(m^2-1)=(-m)/m+1

x=my+m+1

\(=\dfrac{-m^2+m^2+2m+1}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\)

x^2-y^2=5/2

=>\(\left(\dfrac{2m+1}{m+1}\right)^2-\left(-\dfrac{m}{m+1}\right)^2=\dfrac{5}{2}\)

=>\(\dfrac{4m^2+4m+1-m^2}{\left(m+1\right)^2}=\dfrac{5}{2}\)

=>2(3m^2+4m+1)=5(m^2+2m+1)

=>6m^2+8m+2-5m^2-10m-5=0

=>m^2-2m-3=0

=>(m-3)(m+1)=0

=>m=3 

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:

\(t^2-3m.t+m=0\) (1) 

Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)

\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)

TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)

\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)

2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)

Ko tồn tại m thỏa mãn

Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?

lấy (1) + 2.(2) 

sẽ có x = 2m-1 

thay vào (1) sẽ ra y = 2-m 

thay x và y vừa tìm được vào phần thỏa mãn sẽ có 2 nghiệm m = -1 hoặc m = \(\dfrac{3}{2}\) rồi thay vào tìm x và y theo 2 trường hợp 

trường hợp 1: m = -1 

thì ta tìm được x = -3 và y = 3 

trường hợp 2: m= \(\dfrac{3}{2}\)

x = 2 

y = \(\dfrac{1}{2}\)  

( mình chỉ bạn cách làm thôi nên hk có trình bày rõ bạn trình bày lại nhé)