Ta có:

(x+y)²=x²+2xy+y²=1+2xy

Ta lại có: (x-y)²\(\ge\)0 <=> x²-2xy+y²\(\ge\)0 <=> 2xy \(\le\)x²+y²=1

=> (x+y)²=1+2xy\(\le\)1+1=2

=> GTLN của (x+y)² là 2

ta đi chứng minh \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

thật vậy, \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra <=> (x-y)^2=0 <=>x-y=0 <=>x=y

áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.1=2\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y và x^2+y^2=1 <=> x=y=1/ căn 2

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho 2 bộ số (x;y) và (1;1) ta được:

\(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2\)\(\Leftrightarrow2\ge\left(x+y\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Vậy \(\left(x+y\right)^2\) đạt giá trị lớn nhất là 2 khi  \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Ta thấy 
72
=
2
3
.
3
2
72=2 
3
 .3 
2
  nên a, b có dạng 
{
�
=
2
�
3
�
�
=
2
�
.
3
�
{ 
a=2 
x
 3 
y
 
b=2 
z
 .3 
t
 
​
  với 
�
,
�
,
�
,
�
∈
N
x,y,z,t∈N và 
�
�
�
{
�
,
�
}
=
3
;
�
�
�
{
�
,
�
}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2. 

 Theo đề bài, ta có 
2
�
.
3
�
+
2
�
.
3
�
=
42
2 
x
 .3 
y
 +2 
z
 .3 
t
 =42

 
⇔
2
�
−
1
.
3
�
−
1
+
2
�
−
1
3
�
−
1
=
7
⇔2 
x−1
 .3 
y−1
 +2 
z−1
 3 
t−1
 =7   (*), do đó 
�
,
�
,
�
,
�
≥
1
x,y,z,t≥1

 TH1: 
�
≥
�
,
�
≤
�
x≥z,y≤t. Khi đó 
�
=
3
,
�
=
2
x=3,t=2. (*) thành:

 
4.
3
�
−
1
+
3.
2
�
−
1
=
7
4.3 
y−1
 +3.2 
z−1
 =7 
⇔
�
=
�
=
1
⇔y=z=1

 Vậy 
{
�
=
24
�
=
18
{ 
a=24
b=18
​
  (nhận)

 TH2: KMTQ thì giả sử 
�
≥
�
,
�
≥
�
x≥z,y≥t. Khi đó 
�
=
3
,
�
=
2
x=3,z=2. (*) thành 

 
4.
3
�
−
1
+
2.
3
�
−
1
=
7
4.3 
y−1
 +2.3 
t−1
 =7, điều này là vô lí.

 Vậy 
(
�
,
�
)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay 
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)

\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

Ta co : \(x^2+y^2-4x+3=0\)

\(=>\left(x-2\right)^2+y^2=1\)

\(=>\left(x-2\right)^2\le1=>x\le3\)

Lai co : \(x^2+y^2=4x-3\le4.3-3=9\)

Dau = xay ra \(< =>\hept{\begin{cases}x=4\\y=0\end{cases}}\)

Vay gtln cua P = 9 khi x = 4 ; y = 0

(sai thi bo qua cho minh vi lan dau lam dang nay)