\(x=\frac{a}{b+c}=\frac{a}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}\)

\(=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(x=\frac{1}{2}\)

Câu 1:
Đặt \(A=1.2+2.3+3.4+99.100\)

\(\Rightarrow3A=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+99.100\left(101-98\right)\)

\(\Rightarrow3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100\)

\(\Rightarrow3A=99.100.101\)

\(\Rightarrow A=99.100.101:3\)

\(\Rightarrow A=33.100.101\)

\(\Rightarrow A=333300\)

Vậy A = 333300

Câu 2:
\(\left(2x-1\right)^4=81\)

\(\Rightarrow2x-1=\pm3\)

+) \(2x-1=3\Rightarrow x=2\)

+) \(2x-1=-3\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(x\in\left\{2;-1\right\}\)

Câu 3:

C1: Giải:

Ta có: \(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+c}{a-c}=\frac{b+d}{b-d}\left(đpcm\right)\)

C2: Đặt = k

a, A lớn nhất khi 7x la nguyên dương nho nhất

\(\Rightarrow7x=1\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{7}\)

\(b,B=\frac{10+4-x}{4-x}\)

\(B=\frac{10}{4-x}+1\)

b lon nhat khi 4-xla nguyen duong nho nhat

\(\Rightarrow4-x=1\)

\(\Rightarrow x=4-1=3\)

\(c,C=\frac{27-2x}{12-x}=\frac{3+24-2x}{12-x}=\frac{3}{12-x}+2\)

c lon nhat khi 12-x la nguyen duong nho nhat

\(\Rightarrow12-x=1\Rightarrow x=11\)

a)x=1

b)x=3

c)x=11

\(N=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=6^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1

Ta có đánh giá \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) \(\forall a:0< a< 3\)

Thật vật, biến đổi tương đương: \(\Leftrightarrow3+a^2\ge2a\left(3-a\right)\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\) ; \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)

Cộng vế với vế: \(N\ge2\left(a+b+c\right)=6\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có:

\(\frac{3+a^2}{b+c}=\frac{a^2+a+b+c}{b+c}=\frac{a^2+a}{b+c}+1=\frac{a^2}{b+c}+\frac{a}{b+c}+1\)

Tương tự,ta có:

\(\frac{3+b^2}{a+c}=\frac{b^2}{a+c}+\frac{b}{a+c}+1\)

\(\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{c^2}{a+b}+\frac{c}{a+b}+1\)

Cộng vế theo vế của các đẳng thức,ta có:

\(N=3+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và BĐT Nesbitt,ta có:

\(N\ge3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{3}{2}\)

\(=6\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)