Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) chứng minh:
1/ \(\frac{a^2+ac}{c^2-ac}=\frac{b^2+bd}{d^2-bd}\)
2/ \(\frac{3a^2+c^2}{3b^2+d^2}=\frac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a/b = c/d. Chứng minh:
a) \(\frac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\frac{ac}{bd}\)
b) \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{3a^2-2ac}{3b^2-2bd}\)
Ta có: a/b = c/d => a/b.c/d = c/d.c/d (vì các p/s nào bằng nhau nhân với mấy cũng bằng nhau)
hay: ac/d = c^2/d^2 (1)
Lại có: a/b = c/d = a^2/b^2 = c^2/d^2 = a^2+c^2/b^2+d^2 (2)
Từ (1) và (2) => ac/bd = a^2+c^2/b^2/d^2
Đúng 0
Bình luận (0)
cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng: \(\frac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\frac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge\frac{\sqrt{bd}}{ac+\sqrt{bd}}\)
Cho a,b,c,d \(\ne\) 0 và \(b^2=ac;c^2=bd.\) Chứng minh \(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(b+c+d\right)^2}=\frac{a}{d}\)
Ta có: b2 = ac
=> a/b = b/c (1)
Ta có: c2 = bd
=> b/c = c/d (2)
Từ (1) và (2)
=> a/b = b/c = c/d
=> a2/ b2 = c2 / b2 = c2/d2 = ( a+ b+ c )2/ (b+d+c )2 =a2 +b2 +c2 / b2 + c2 +d2 (3)
( tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Ta có: a/b = b/c = c/d
=> a/b . b/c . c/d = (a/b)3 = a.b.c/b.d.c = a/d (4)
Từ (3) và (4)
=> ( a+ b+ c )2/ (b+d+c )2 =a2 +b2 +c2 / b2 + c2 +d2 = a/d
chúc bạn hok tốt 
Cho a,b,c,d \(\ne\) 0 và \(b^2=ac;c^2=bd\). Chứng minh: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(b+c+d\right)^2}=\frac{a}{d}\)
Lời giải:
Từ \(b^2=ac; c^2=bd\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Đặt \(\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow b=ct; a=bt; c=dt\)
Khi đó:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{(bt)^2+(ct)^2+(dt)^2}{b^2+c^2+d^2}=t^2(1)\)
\(\frac{(a+b+c)^2}{(b+c+d)^2}=\frac{(bt+ct+dt)^2}{(b+c+d)^2}=\frac{t^2(b+c+d)^2}{(b+c+d)^2}=t^2(2)\)
\(\frac{a}{d}=\frac{bt}{d}=\frac{ct.t}{d}=\frac{dt.t.t}{d}=t^3\)
Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{(a+b+c)^2}{(b+c+d)^2}\) nhưng không bằng $\frac{a}{d}$ (trừ phi $t=1$)
Cho a,b,c,d \(\ne\) 0 và \(b^2=ac;c^2=bd\). Chứng minh \(\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2+d^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(b+c+d\right)^2}=\frac{a}{d}\)
Đề bài sai nhé
Đẳng thức này mới đúng: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\left(b+c+d\right)^3}=\frac{a}{d}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\\c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{d}=\frac{abc}{bcd}=\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\left(b+c+d\right)^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Cho ac=bd. Chứng minh:\(\left(\frac{a+d}{b+c}\right)^2=\frac{a^2+d^2}{b^2+c^2}\)
a/b =c/d =k,a=bk,c=dk;bkdk/bd =k2(1)
(bk+dk)2 /(b+d)2 =(k(b+d))2/(b+d)2 =k2(b+d)2 / (b+d)2 = k2(2)
từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\text{Ta có:}ac=bd\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{d}{c}=\frac{a+d}{b+c}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{d}{c}\right)^2=\left(\frac{a+d}{b+c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{d^2}{c^2}=\left(\frac{a+d}{b+c}\right)^2\)
\(\text{Mặt khác: }\frac{a^2}{b^2}=\frac{d^2}{c^2}=\frac{a^2+d^2}{b^2+c^2}\)
\(\text{Suy ra: }\left(\frac{a+d}{b+c}\right)^2=\frac{a^2+d^2}{b^2+c^2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), chứng minh rằng:
\(a.\frac{4a+9b}{7a-6b}=\frac{4c-9d}{7c-6d}\)
\(b.\frac{a^2}{b^2}=\frac{ac}{bd}=\frac{c^2}{d^2}\)
\(c.\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{\left(b+d\right)^2}{b^2-d^2}\)
Xem thêm câu trả lời
Chứng minh:
1) \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
2) \(\left(ac+bd\right)^{^2}\le\left(a^{^2}+b^{^2}\right)\left(x^{^2}+d^{^2}\right)\)
B1: https://olm.vn/hoi-dap/question/133327.html
B2: áp dụng bđt Bu-nhi-a-cop-xki với 2 bộ số (a;b) và (c;d) ra luôn
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1:
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow1+1+1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge9\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)
Vậy ta cần chứng minh: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{b}{a}\); \(\frac{a}{c}\) và \(\frac{c}{a}\); \(\frac{b}{c}\) và \(\frac{c}{b}\) ta có:
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(1\right)\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\left(2\right)\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\) (luôn đúng)
Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (Đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).chứng minh \(\frac{3a^2+c^2}{3b^2+d^2}=\frac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}\)