Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương
Chứng minh rằng: \((3^{n+1}-2.2^n)\left(3.3^n+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(8.2^{n-2}.3^{n+1}\right)^2\) là một số chính phương với mọi số tự nhiên n.
\(\left(3^{n+1}-2.2^n\right)\left(3.3^n+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(8.2^{n-2}.3^{n+1}\right)^2\)
\(=\left(3^{n+1}-2^{n+1}\right)\left(3^{n+1}+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(2^{n+1}.3^{n+1}\right)^2\)
\(=\left(3^{2n+2}-2^{2n+2}\right).3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)
\(=3^{2\left(2n+2\right)}-2^{2n+2}.3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)
\(=3^{2\left(2n+2\right)}=\left(3^{2n+2}\right)^2\).
Ta thấy \(\left(3^{2n+2}\right)^2\)luôn là 1 số chính phương với mọi n\(\in\)N
Nên ta có ĐPCM.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, \(\left(2^{3^{^n}}+1\right)⋮\left(3^{n+1}\right)\)nhưng không chia hết cho \(3^{n+2}\)
Do 2 + 1 chia hết cho 3 nên theo bổ đề LTE ta có \(v_3\left(2^{3^n}+1\right)=v_3\left(2+1\right)+v_3\left(3^n\right)=n+1\).
Do đó \(2^{3^n}+1⋮3^{n+1}\) nhưng không chia hết cho \(3^{n+2}\).
Với mọi số tự nhiên n > 2 . Chứng minh rằng \(\frac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\left(n-1\right).n}-\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\right]\)
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)
Ta có đpcm.
Chứng minh với n tự nhiên,\(n\ge6\) thì
an=\(1+\frac{2.6.10....\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(n+7\right)....2n}\) là số chính phương
chứng minh rằng :
a) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) thì \(a=b=c\)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)Với mọi a,b,c
c)\(\left(3^{n+1}-2\cdot2^n\right)\left(3\cdot3^n+2^{n+1}\right)\cdot3^{2n+2}+\left(8\cdot2^{n-2}\cdot3^{n+1}\right)^2\)là một số chính phương với mọi số tự nhiên n
a^2 + b^2 + c^2= ab + bc + ca
2 ( a^2 + b^2 + c^2 ) = 2 ( ab + bc + ca)
2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca
a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2+ c^2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0
a^2 + b^2 – 2ab + b^2 + c^2 – 2bc + c² + a² – 2ca = 0
(a^2 + b^2 – 2ab) + (b^2 + c^2 – 2bc) + (c^2 + a^2 – 2ca) = 0
(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0
Vì (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a và b
(b-c)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi c và b
(c-a)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a và c
=> (a-b)^2 =0 ; (b-c)^2=0 ; (c-a)^2=0
=> a=b ; b=c ; c=a
=>a=b=c
Chứng minh rằng:
a, \(A=\left(n^5-n\right):30\)với mọi n thuộc N
b, Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì 2n - 1 ko thể là số chính phương.
Chứng minh rằng với \(n\in N\) thì A là số chính phương biết:
\(A=\left(10^n+10^{n-1}....+10+1\right)\left(10^{n+1}+5\right)+1\)
Lời giải:
Xét:
$M=1+10+....+10^n$
$10M=10+10^2+....+10^{n+1}$
$10M-M=10^{n+1}-1$
$M=\frac{10^{n+1}-1}{9}$
$A=M.(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5)}{9}+1$
$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}-5+9}{9}$
$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}$
$=\frac{(10^{n+1}+2)^2}{9}$
$=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2$
Ta thấy: $10^{n+1}+2\equiv 1^{n+1}+2=3\equiv 0\pmod 3$
Do đó: $\frac{10^{n+1}+2}{3}\in\mathbb{N}$
Suy ra $A$ là scp.
Chuyên sư phạm Hà Nội (2014)
3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n\(\ge\)6 thì số:
\(a_n=1+\frac{2.6.10...\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\) là 1 số chính phương
Ta có: \(a_n=1+\frac{2^n\left[1.3.5...\left(2n-1\right)\right]}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\frac{2^n\left(2n\right)!}{\left[2.4.6..\left(2n\right)\right]\left[\left(n+5\right)\left(n+6\right)..\left(2n\right)\right]}\)
\(=1+\frac{\left(2n\right)!}{n!\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)
mặt khác \(1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+5n+5\right)^2\)
do đó an luôn là SCP
Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n\ge2\) :
\(M=\left(1-\dfrac{3}{2.4}\right).\left(1-\dfrac{3}{3.5}\right).\left(1-\dfrac{3}{4.6}\right).\left(1-\dfrac{3}{5.7}\right)...\left(1-\dfrac{3}{n\left(n+2\right)}\right)>\dfrac{1}{4}\)
\(1-\dfrac{3}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+2\right)-3}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1.5}{2.4}.\dfrac{2.6}{3.5}.\dfrac{3.7}{4.6}...\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(=\dfrac{1.2.3...\left(n-1\right)}{2.3.4...n}.\dfrac{5.6.7...\left(n+3\right)}{4.5.6...\left(n+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{n}.\dfrac{n+3}{4}=\dfrac{n+3}{4n}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4n}>\dfrac{1}{4}\) (đpcm)