Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác . Chứng minh bất đẳng thức :
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\).
1) Cho \(a,b,c\ge0\), chứng minh rằng \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+b^2c^2\ge0\)
2) Cho a,b,c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh các bất đẳng thức sau ;
a) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
b) \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
2) a) Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a\ge b\ge c>0\).Suy ra \(a+b\ge a+c\ge b+c\)
Ta có : \(\frac{b}{c+a}< \frac{b}{b+c}\); \(\frac{c}{a+b}< \frac{c}{b+c}\); \(\frac{a}{b+c}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}< \frac{b+c}{b+c}+1=2\)
b) Đặt \(x=b+c-a\); \(y=c+a-b\); \(z=a+b-c\);
Khi đó : \(2a=y+z\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\). \(b=\frac{x+z}{2}\); \(c=\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
Mặt khác ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\); \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\); \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)
hay \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
Để mình hướng dẫn bằng lời nhé . Nếu đánh ra hết thì rất dài và không tốt cho cậu :
Đặt x= mẫu thứ nhất (1)
y=mẫu thứ hai (2)
z=mẫu thứ ba (3)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được .... Cậu tự tính cho tốt.
Sau đó rút c= x+y/2(@@@)
Tương tự với (2) và (3), (1) và (2)
Ta có b=x+z/2(@@)... a=y+z/2(@)
Cộng vế với vế của (@), (@@), (@@@) ta có
vế trái bằng \(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}\)
Đặt 1/2 ra sau đó tách các phân số ra như sau
\(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\)
Dễ dàng chuyển chúng sang BĐT Cauchy sẽ được kết quả cuối cùng là điều cần phải CM... Khó hiểu có thể hỏi lại
ai có thể giải ra thành bài luôn được ko, bạn ghi mình khồn hiểu
đặt , a+b-c , c+a-b , a+b-c = x,y,z
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\)
\(a=\frac{\left(y+z\right)}{2},b=\frac{\left(x+z\right)}{2},c=\frac{\left(x+y\right)}{2}\)
như vậy Pt phải là
\(\frac{\left(y+z\right)}{\frac{2}{x}}+\frac{\left(x+z\right)}{\frac{2}{y}}+\frac{\left(x+y\right)}{\frac{2}{z}}\)
vì (b+c-a) =x
Đa giang sai chắc chắn luôn
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
Đặt \(x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c\) , khi đó : \(\begin{cases}2a=y+z\\2b=x+z\\2c=x+y\end{cases}\)
Ta có : \(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\ge2+2+2=6\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
ta có \(\frac{a}{b+c}-1+\frac{b}{a+c}-1+\frac{c}{a+b}-1=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-3\) vì a b c là cách cạnh của tam giác nên biểu thức trên >= 3
chứng minh bất đẳng thức
cho a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác CMR:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>2\)
chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>1\)
với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Có:\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)vì a,b,c>0
tương tự \(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từ vế lại \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>2\)
với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
bạn tham khảo ở câu hỏi tương tự nhé
tick mình đi
Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh:
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
đề bài đúng, mà mình cũng biết giải rồi
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh :\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
MÌNH TICK CHO BẠN NÀO LÀM ĐÚNG NHA
Đặt \(x=b+c-a;\) \(y=c+a-b;\) và \(z=a+b-c\)
thì \(a=\frac{y+z}{2};\) \(b=\frac{x+z}{2};\) và \(c=\frac{x+y}{2}\)
Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trên được quy về dưới dạng:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}=\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}\)
Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \(x,y,z\), ta được:
\(VT=\left(\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}\right)+\left(\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}\right)\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{x}{2y}}+2\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{x}{2z}}+2\sqrt{\frac{z}{2y}.\frac{y}{2z}}=3=VP\)
Vậy, \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) \(\Leftrightarrow\) tam giác đó là tam giác đều.