a,B=(10ⁿ-1)+(27n-9n)

B=999..9+27n - 9n (n chữ số 9)

B=9.(111..1-n)+27n (n chữ số 1)

Vì 111..1(n chữ số 1) và n cùng dư trong phép chia cho 3

=>111..1-1 (n chữ số 1) ⋮ 3

=>9.(111..1-n) ⋮ 9 . 3 =27

mà 27 n ⋮ 27

=> 9.(111..11 - n)+27n ⋮ 27

=>B ⋮ 27

Ta có: 10ⁿ + 18n - 1 = (10ⁿ - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

........................................................................

Sửa đề câu a là chia hết 59.

a, \(5^{n+3}-3.5^{n+1}+2^{6n+3}\)

\(=125.5^n-3.5.5^n+8.64^n\)

\(=110.5^n+8.64^n=\left(118-18\right).5^n+8.64^n\)

\(=118.5^n+8.\left(64^n-5^n\right)=2.59.5^n+8.59.P\)

\(=59\left(2.5^n+8.P\right)⋮59\)

b, \(10^n+18n-55\)

\(=\left(10^n-1\right)+18n-54\)

\(=99...999+18n-54\) (n chữ số 9)

\(=9\left(11...111+2n\right)-54\) (n chữ số 1)

\(=9\left(11...111-n+3n\right)-54\) (n chữ số 1)

Xét số 11..111 ( n chữ số 1) có tổng các chữ số là:

\(1+1+...+1+1=n\) (vì có n chữ sô 1)

\(\Rightarrow\)11...111 ( nu chữ số 1 ) và n có cùng số dư khi chia cho 3

\(\Rightarrow11...111-n⋮3\Rightarrow11...111-n+3n⋮3\)

\(\Rightarrow9\left(11...1111-n+3n\right)⋮27\) và \(54⋮27\)

\(\Rightarrow9\left(11...111-n+3n\right)-54⋮27\)

Vậy \(10^n+18n-55⋮27\) (đpcm)

a) Qui nạp :

\(A=10^n+18n-1\)

+) Xét \(n=1\Leftrightarrow A=27⋮27\)

+) Xét \(n=2\Leftrightarrow A=135⋮27\)

Giả sử biểu thức đúng với \(n=k\)

Khi đó ta có : \(A=10^k+18k-1⋮27\)(*)

Để kết thúc bài toán ta cần chứng minh biểu thức đúng với \(n=k+1\)

Xét \(A=10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1\)

\(A=10^k\cdot10+18k+18-1\)

\(A=10\left(10^k+18k-1\right)-162k+27\)

\(A=10\left(10^k+18k-1\right)-27\left(6k-1\right)\)

Theo (*) ta có \(10\left(10^k+18k-1\right)⋮27\)

Mặt khác \(-27\left(6k-1\right)⋮27\)

\(\Rightarrow A=10\left(10^k+18k-1\right)-27\left(6k-1\right)⋮27\)

Ta có đpcm

b) \(n^3-n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Ta có \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\\n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\\\left(2;3\right)=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\cdot3=6\)( đpcm )

1.

Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

đúng cái nhe bạn

2.

Gọi d là ƯCLN (16n+3; 12n+2)

=> 16n+3 chia hết cho d; 12n+2 chia hết cho d

Nên 3. (16n+3) chia hết cho d; 4. (12n+2) chia hết cho d

=> 48n+9 chia hết cho d; 48n+8 chia hết cho d

=> (48n+9)-(48n+8) chia hết cho d

=>            1           chia hết cho d

=> d \(\in\) {1; -1}

Vậy phân số \(\frac{16n+3}{12n+2}\) là phân số tối giản.

1.
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27

2.

Gọi d là ƯCLN (16n+3; 12n+2)

=> 16n+3 chia hết cho d; 12n+2 chia hết cho d

Nên 3. (16n+3) chia hết cho d; 4. (12n+2) chia hết cho d

=> 48n+9 chia hết cho d; 48n+8 chia hết cho d

=> (48n+9)-(48n+8) chia hết cho d

=>            1           chia hết cho d

=> d ∈ {1; -1} => ĐPCM

10³³  + 8 có tận cùng là 8 => 10³³ + 8 chia hết cho 2

10³³ + 8  có tổng các chữ số là 9 => 10³³ + 8 chia hết cho 9

10¹⁰  + 14 có tận cùng là 4 => 10¹⁰ + 14 chia hết cho 2

10¹⁰ + 14  có tổng các chữ số là 15 => 10¹⁰ + 14 chia hết cho 3