Ta có (x+y)²>0 <=>x²+y²>2xy

=>x²+2xy+y²>4xy

=>4xy<(x+y)²

=>xy<(x+y)²/4

Theo BDT tam giác ta có : a+b-c>0;b+c-a>0

Áp dụng BDT trên ta dc :

(a+b-c)(b+c-a)<(a+b-c+b+c-a)²/4=4b²/4=b²

(a+b-c)(c+a-b)<(a+b+c+a-b)²/4=a²

(b+c-a)(c+a-b)<(b+c-a+c+a-b)²/4=c²

^=>(a+b-c)2(b+c-a)²(a+c-b)²=a²+b²+c²

=>abc> (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) (dpcm)

Ta có : 

(b+c-a)(b+a-c)=b²-(c-a)²\(\le\) b²

(c+a-b)(c+b-a)=c^2_(a-b)²\(\le\) c²

(a+b-c)(a+b-c)=a²-(b-c)²\(\le\) a²

nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ,ta được :

[(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]²\(\le\) [abc]²

các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên :

(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\(\le\) abc

dấu "=" xảy ra khi a=b=c

đặt b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z thì x,y,z>0

theo bất đẳng thức (x+y)(y+z)(z+x)\(\ge\) 8xyz

=> 2a.2b.2c\(\ge\) 8(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=>abc \(\ge\) (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

xảy ra đẳng thức khi và chỉ khí a=b=c

Có:\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)vì a,b,c>0
tương tự \(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từ vế lại \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

bạn tham khảo ở câu hỏi tương tự nhé

tick mình đi

Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất,chẳng hạn \(a\le c\).

Khi đó:\(a^2\le c^2\)và \(b^2\le\left(a+c\right)^2\le4c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2< 5c^2\)(trái với giả thiết)

\(\Rightarrow\)điều giả sử sai

\(\Rightarrow\)điều ngược lại đúng,tức là c  là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.

cảm ơn nhe bn

a+b+c => a+b= -c

=> (a+b)² = (-c)²

=> a³+b³+3ab(a+b) = -c²

=> a³+b³+c³ = -3ab(a+b)

=> a²+b²+c² = -3ab(-c) = 3abc

C/m BĐT phụ:   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  (*)      (x,y dương)

Ta có:   \(\left(x-y\right)^2\ge0\)       

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)   (BĐT đã đc chứng minh)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

ÁP dụng BĐT (*) ta có:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)  (1)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\)  (2)

\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)

Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:

          \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (đpcm)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Khi đó  \(\Delta ABC\)là tam giác đều