Chứng minh đẳng thức
3(x^2+y^2+z^2)-(x-y)^2-(y-z)^2-(z-x)^2=(x+y+z)^2
Những câu hỏi liên quan
chứng minh từ đẳng thức (x-y)^2+(y-z)^2+ (z+x)^2= (x+y-2z)^2+ (y+z-2x)^2 + (z+x-2y) ta suy ra x=y=z
Cho x,y,z chứng minh bất đẳng thức
X/x^2+y^2 +y/y^2+z^2 +z/x^2+z^2 <_ 1/2(1/x+1/y+1/z)
\(x^2+y^2>=2xy\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}< =\frac{x}{2xy}=\frac{1}{2y}\)(1)
\(y^2+z^2>=2yz\Rightarrow\frac{y}{y^2+z^2}< =\frac{y}{2yz}=\frac{1}{2z}\)(2)
\(x^2+z^2>=2xz\Rightarrow\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{z}{2xz}=\frac{1}{2x}\)(3)
từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{y^2+z^2}+\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh đẳng thức: (x+y+z)^2 - x^2 - y^2 - z^2
thực hiện phép tính
1/x^2+2 +1/x^2+3x+2 +1/x^2+5x+6 +1/x^2+7x+12 +x^2+9x+20
chứng minh hằng đẳng thức
y-z/(x-y)(x-z) +z-x/(y-z)(y-x) +x-y/(z-x)(z-y) =2/x-y +2/y-z +2/z-x
Chứng minh bất đẳng thức sau:\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được
\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)
Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng
Vậy ta được đpcm
Đúng 4
Bình luận (0)
Phải có thêm dữ kiện x,y,z > 0 nữa nhé.
Áp dụng BĐT C - S dạng Engel, ta có:
Cycma(x/(y + z)) = cycma(x^2/(xy + xz)) >= cycma(x)^2/(2cycma(xy)) >= cycma(x)^2/((2cycma(x)^2)/3) = 3/2 (đpcm)
Đúng 2
Bình luận (0)
đây là BĐT Nesbit cho 3 số thực dương nên thiếu điều kiện x,y,z\(\in R\)*
Đúng 1
Bình luận (0)
thực hiện phép tính
1/x^2+2 +1/x^2+3x+2 +1/x^2+5x+6 +1/x^2+7x+12 +x^2+9x+20
chứng minh hàng đẳng thức
y-z/(x-y)(x-z) +z-x/(y-z)(y-x) +x-y/(z-x)(z-y) =2/x-y +2/y-z +2/z-x
với x,y,z>0 và \(x+y+z\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
chứng minh đẳng thức \(x+y+z\ge\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh đẳng thức sau: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-\left[3xy\left(x+y\right)+3xyz\right]\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(x+y\right).z-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yx-3xz-3yz-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)
\(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)Chứng minh 2 đẳng thức trên bằng nhau
Xem chi tiết
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x-z\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)\(+\frac{\left(y-x\right)-\left(y-z\right)}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{\left(z-y\right)-\left(z-x\right)}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x-z}+\frac{1}{y-z}-\frac{1}{y-x}+\frac{1}{z-x}-\frac{1}{z-y}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{x-y}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{y-z}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)
tự lm nốt ik