a, Giả sử tam giác ABC có  A ^ < 90 0  kẻ đường cáo BH. Ta có BH=AB.sin A ^

=>  S ∆ A B C = 1 2 A C . B H =  1 2 A B . A C . sin A

b, Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O có  A O B ^ = α < 90 0 . Kẻ AH ⊥ BD, tại H và CK ⊥ BD tại K

Ta có: AH = OA.sinα

=>  S A B D = 1 2 B D . A H =  1 2 B D . O A . sin α

Tương tự:  S C B D = 1 2 B D . C K =  1 2 B D . O C . sin α

=>  S A B C D = S A B D + S C B D =  1 2 B D . O A . sin α +  1 2 B D . O C . sin α =  1 2 B D . A C . sin α

Có hình vẽ : 

Dễ thấy S_ABCD = \(\frac{1}{2}\left(AH+CK\right).BD\)

mà lại có \(AH=AO.sin\alpha\) ; \(CK=OC.sin\alpha\)

=> S_ABCD = \(\frac{1}{2}\sin\alpha.AC.BD\)

Khi 2 đường chéo vuông góc với nhau thì 

\(H\equiv O\equiv K\Rightarrow AH=AO=CK\)

hay \(sin\alpha=1\)

Khi đó \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}mn\)(đpcm) 

Tham khảo:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\), ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{OAD}} = \frac{1}{2}.OA.OD.\sin \alpha ;\quad {S_{OBC}} = \frac{1}{2}.OB.OC.\sin \alpha ;\\{S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin ({180^o} - \alpha );\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin ({180^o} - \alpha ).\end{array}\)

Mà \(\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \)

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin \alpha ;\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin \alpha .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \left( {{S_{OAD}} + {S_{OAB}}} \right) + \left( {{S_{OBC}} + {S_{OCD}}} \right)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .(OD + OB) + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .(OB + OD)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .BD + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .BD\\ = \frac{1}{2}.BD.\sin \alpha .(OA + OC)\\ = \frac{1}{2}.AC.BD.\sin \alpha  = \frac{1}{2}.x.y.\sin \alpha .\end{array}\)

b) Nếu \(AC \bot BD\) thì \(\alpha  = {90^o} \Rightarrow \sin \alpha  = 1.\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.x.y.1 = \frac{1}{2}.x.y.\)

A) Vẽ t/g ABC (A là góc nhọn), đường cao BH. 
1/2.AB.AC.sinA = 1/2.AB.AC.(BH/AB) = 1/2.BH.AC = S(ABC)

                            Giải

Xét tứ giác ABCD có AB cắt CD tại F. E là giao điểm 2 đường chéo tứ giác. G,H thứ tự là trung điểm AC,BD

Ta cần chứng minh: \(S_{FGH}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

               \(S_{FGH}=S_{FAD}-S_{FAG}-S_{FDH}-S_{AGD}-S_{DGH}\)

              \(=S_{AFD}-\frac{1}{2}\left(S_{FAC}+S_{FBD}\right)-\frac{1}{2}S_{ACD}-\frac{1}{2}S_{DGB}\)

\(=S_{ACD}+S_{ABC}+S_{FBC}-\frac{1}{2}\left(S_{ABC}+S_{FBC}+S_{DBC}+S_{FBC}\right)-\frac{1}{2}S_{ACD}\)

\(-\frac{1}{2}\left(S_{ACD}+S_{ABC}-S_{ADG}-S_{ABG}-S_{DBC}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(S_{ADG}+S_{ABG}\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left(S_{ACD}+S_{ABC}\right)=\frac{1}{4}S_{ABCD}\left(đpcm\right)\)

Giải

Xét tứ giác ABCD có AB cắt CD tại F. E là giao điểm 2 đường chéo tứ giác. G,H thứ tự là trung điểm AC,BD

Ta cần chứng minh: S_FGH=12 S_ABCD

               S_FGH=S_FAD−S_FAG−S_FDH−S_AGD−S_DGH

              =S_AFD−12 (S_FAC+S_FBD)−12 S_ACD−12 S_DGB

=S_ACD+S_ABC+S_FBC−12 (S_ABC+S_FBC+S_DBC+S_FBC)−12 S_ACD

−12 (S_ACD+S_ABC−S_ADG−S_ABG−S_DBC)

=12 (S_ADG+S_ABG)=12 .12 (S_ACD+S_ABC)=14 S_ABCD(đpcm)