HB/HC=3/4 nên \(\dfrac{AB}{AC}=\sqrt{\dfrac{BH}{CH}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow AC=4:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\dfrac{4\sqrt{21}}{3}\left(cm\right)\)

\(C=AB+BC+AC=\dfrac{12+8\sqrt{3}+4\sqrt{21}}{3}\left(cm\right)\)

HB/HC=1/4

nen HC=4HB

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow4HB^2=14^2=196\)

=>HB=7(cm)

=>HC=28(cm)

BC=BH+CH=35(cm)

\(AB=\sqrt{7\cdot35}=7\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{28\cdot35}=14\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(C=AB+AC+BC=21\sqrt{5}+35\left(cm\right)\)

Vẽ hình nữa nha

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\)

=> \(HC=4HB\)

Đặt HC = x ta có: => HB = 4x

\(AH^2=HB.HC\)

hay \(14^2=4x.x\)

=> 196 = 4x²

=> x = 7

=> HB = 4x = 4.7 = 28

Ta có: BC = HB + HC = 7 + 28 = 35

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H ta có:

\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=> AC = \(7\sqrt{5}\) cm

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2=14^2+28^2=980\)

=> AB = \(14\sqrt{5}cm\)

Chu vi tam giác ABC:

AB +AC+BC= \(14\sqrt{5}+7\sqrt{5}+35=35+21\sqrt{5}\)

Để tính chu vi của tam giác ABC, ta cần biết độ dài các cạnh của tam giác. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, chúng ta chỉ biết đường cao AH có độ dài là 14cm và tỉ lệ HB/HC là 1/4. Để tính chu vi, chúng ta cần thêm thông tin về độ dài các cạnh khác của tam giác.

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

=>HB*HB*4=14^2=196

=>HB=7(cm)

HC=7*4=28cm

BC=7+28=35cm

\(AB=\sqrt{7\cdot35}=7\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{28\cdot35}=14\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(C_{ABC}=7\sqrt{5}+14\sqrt{5}+35=21\sqrt{5}+35\left(cm\right)\)

Ta có :

\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{HB}{1}=\dfrac{HC}{4}=\dfrac{HB.HC}{1.4}=\dfrac{AH^2}{4}=\dfrac{196}{4}=49\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HB=49.1=49\left(cm\right)\\HC=49.4=196\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BC=HB+HC=49+196=245\left(cm\right)\)

\(AB^2=BH.BC=49.245=49.49.5\)

\(\Rightarrow AB=49\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)

\(AC^2=HC.BC=196.245=196.49.5\)

\(\Rightarrow AC=98\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)

Chu vi \(\Delta ABC\) :

\(AB+AC+BC=49\sqrt[]{5}+98\sqrt[]{5}+245=147\sqrt[]{5}+245\left(cm\right)\)

Lời giải:
 Vì $HB:HC=1:4$ nên đặt $HB=a; HC=4a$ với $a>0$

Áp dụng HTL trong tam giác vuông:
$AH^2=BH.CH$

$14^2=a.4a$

$4a^2=196$

$a^2=49\Rightarrow a=7$ (do $a>0$)

Khi đó:

$BH=a=7$ (cm); $CH=4a=28$ (cm)

$BC=BH+CH=7+28=35$ (cm)

$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{14^2+7^2}=7\sqrt{5}$ (cm)

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{14^2+28^2}=14\sqrt{5}$ (cm)

Chu vi tam giác $ABC$:

$P=AB+BC+AC=7\sqrt{5}+14\sqrt{5}+35=21\sqrt{5}+35$ (cm)

Hình vẽ:

1: AB/AC=5/7

=>HB/HC=(AB/AC)^2=25/49

=>HB/25=HC/49=k

=>HB=25k; HC=49k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

=>1225k^2=15^2=225

=>k^2=9/49

=>k=3/7

=>HB=75/7cm; HC=21(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AH² = HB.HC

mà \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow HB=\dfrac{HC}{4}\)

thay vào ta được: 14² = \(\dfrac{HC^2}{4}\)

=> HC = \(\sqrt{14^2.4}=28\) cm

=> HB = 14² : 28 = 7 cm

BC = HB +HC = 28+7 =35cm

AB = \(\sqrt{BC.BH}=\sqrt{35.7}=7\sqrt{5}cm\)

AC = \(\sqrt{HC.BC}=\sqrt{35.28}=14\sqrt{5}\) cm

Vậy chu vi tam giác là 35+\(21\sqrt{5}cm\)