5³ⁿ.5²+2²ⁿ.2³=125ⁿ.25+4ⁿ.8

vì 125ⁿ đồng dư với 4ⁿ

^=> dãy trên đồng dư với 4ⁿ  . 25 + 4ⁿ.8=4ⁿ.(8+25)=4ⁿ.33 

vì 33 chia hết cho 11 =>đpcm

a, n-4 chia hết n-4

=>2(n-4)chia hết n-4

hay 2n-4 chia het n-4

vì 2n-1 chia het n-4

Nên (2n-1)-(2n-4) chia hết cho n-4

do đó  3 chia hết n-4

hay (n-4) thuộc ước của 3 là 3;1

+, n-4=3

n=7

+,n-4=1

n=5

Vậy n = 7;5

b, Có 3n chia hết 5-2n

=>2.3n chia hết 5-2n

 hay 6n chia hết 5-2n

vì 5-2n chia hết 5-2n

nên 3(5-2n) chia hết 5-2n

do đó 15-6n chia hết 5-2n

Suy ra 6n+(15-6n) chia hết 5-2n

hay 15 chia hết 5-2n

nên (5-2n) thuộc ước của 15 là 15;5;3;1

Xét +, 5-2n=15

2n =-10

n=-5(loại vì n thuộc N)

+, 5-2n =5

2n=0 

n=0(TM)

+, 5-2n=1

2n=4

n=2 (TM)

+,5-2n=3

2n=2

n=1(TM)

Vậy n=0;1;2

a) Gọi ƯC(3n + 4; 2n + 3) = d

=> 3n + 4 ⋮ d => 2(3n + 4) ⋮ d hay 6n + 8 ⋮ d (1)

=> 2n + 3 ⋮ d => 3(2n + 3) ⋮ d hay 6n + 9 ⋮ d (2)

Từ (1) và (2) => 6n + 9 - 6n - 8 ⋮ d

hay 1 ⋮ d => d ∈ Ư(1) = 1

=> d = 1 hay ƯC(3n + 4; 2n + 3) = 1

Vậy 3n + 4 và 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

b) làm tương tự ( nhân 2 vào vế n + 5 )

a) Đặt (3n + 4, 2n + 3) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+4⋮d\Rightarrow2\left(3n+4\right)⋮d\Rightarrow6n+8⋮d\\2n+3⋮d\Rightarrow3\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow6n+9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(6n+9\right)-\left(6n+8\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy...

Gọi 

ƯCLN(3n+4;2n+3)=d

Ta có:

3n+4 chia hết cho d

2n+3 chia hết cho d

=>3(2n+3)-2(3n+4) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

Vậy .........

Ta có:

2n+11 chia hết cho d

n+5 chia hết cho d

=>2n+11-2(n+5) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

Vậy.........