a) Ta có: \(cosA=\dfrac{AD}{AB};cosA=\dfrac{AE}{AC}\)

Do đó: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Vậy \(\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\) do đó

\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AD}{AB}\right)^2=cos^2A\)

Suy ra: \(S_{ADE}=S_{ABC}.cos^2A\)

b) \(S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ABC}.cos^2A\)

\(=S_{ABC}\left(1-cos^2A\right)=S_{ABC}sin^2A\)

a, \(\bigtriangleup{ABD} \sim \bigtriangleup{ACE}\) (g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}\)

\(\Rightarrow\) \(S_{ABC} \sim S_{ADE}\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = ({\dfrac{AD}{AB}})^2\) = \(cos^2A\)

\(\Rightarrow\) \(S_{ADE} = S_{ABC} . cos^2A\) (đpcm)

b, \(S_{BCDE} = S_{ABC} - S_{ADE}\)

\(= S_{ABC} - S_{ABC} . cos^2A \)

= \(S_{ABC} (1-cos^2A)\)

= \(S_{BCDE} = S_{ABC} . sin^2A \) (đpcm)

Xét tứ giác BEDC có góc BEC=góc BDC=90 độ

nên BEDClà tứ giác nội tiếp

=>góc AED=góc ACB

=>ΔAED đồng dạng với ΔACB

Suy ra: \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AD}{AB}\right)^2=cos^2A\)

hay \(S_{ADE}=S_{ABC}\cdot cos^2A\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc BAD chung

DO đó ΔADB đồng dạng với ΔAEC

Suy ra: AD/AE=AB/AC

=>AD/AB=AE/AC

=>ΔADE đồng dạng với ΔABC

=>\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AD}{AB}\right)^2=cos^2A\)

hay \(S_{ADE}=S_{ABC}\cdot cos^2A\)

\(\cos^2\widehat{A}=\frac{AE^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}\)

Xét tam giác ADE và tam giác ABC có : 

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) \(\left(=\cos\widehat{A}\right)\)

\(\widehat{A}\) là góc chung 

Do đó : \(\Delta ADE~\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)

Mà tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên 

\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\left(\frac{AE}{AC}\right)^2=\cos^2\widehat{A}\)\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) ( đpcm ) 

làm tạm 1 câu :v 

\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.1=S_{ABC}\left(\sin^2\widehat{A}+\cos^2\widehat{A}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}+S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\)

\(\Leftrightarrow\)\(S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}\) ( do \(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) ) 

à anh bỏ cái dòng đầu \(\cos^2\widehat{A}=\frac{AE^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}\) ở câu a) đi nhé, quên xoá >_< 

Xét tứ giác BEDC có góc BEC=góc BDC=90 độ

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

=>góc AED=góc ACB

=>ΔAED đồng dạng với ΔACB

=>\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AD}{AC}\right)^2=cos^2A\)

hay \(S_{ADE}=S_{ABC}\cdot cos^2A\)

a. Ta có : \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{AF}{AB};\frac{S_{AEB}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\)

Như vậy \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}.\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}=cosA.cosA=cos^2A.\)

Từ đó ta có : \(S_{AEF}=S_{ABC}.cos^2A\)

b. Tương tự phần a ta có : \(S_{BEF}=S_{ABC}.cos^2B\); \(S_{CEF}=S_{ABC}.cos^2C\)

Như vậy \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BEF}-S_{CEF}\)

Từ đó ta có: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C\right)\)

Chúc em học tốt :)))

minh k bit

a)

\(\Delta EAB\) ~ \(\Delta FAC\) (g - g)

\(\Rightarrow\dfrac{EA}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\) ~ \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE^2}{AB^2}=\cos^2A\)

\(\Rightarrow S_{AEF}=\cos^2A\left(S_{ABC}=1\right)\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có: \(S_{BFD}=\cos^2B\) (2) và \(S_{CDE}=\cos^2C\) (3)

Cộng theo vế của (1) , (2) và (3) => đpcm

b)

\(S_{DEF}=S_{ABC}-\left(S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CDE}\right)\text{ }\)

\(=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)

\(=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\) (đpcm)

Tham khảo:

a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\) cho tam giác ABC và BED, ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BA.BC.\sin B;{S_{BED}} = \frac{1}{2}..BE.BD.\sin B\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.BE.BD.\sin B}}{{\frac{1}{2}.BA.BC.\sin B}} = \frac{{BE.BD}}{{BA.BC}}\)

b) Ta có: \(\cos B = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BE}}{{BC}}\)

Mà \(\frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{{BD}}{{BA}}.\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{9}\)

\( \Rightarrow \cos B = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)

+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:

\(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{1}{3}\) và góc B chung

\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DEB\) (cgc)

\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AC = 3.DE = 3.2\sqrt 2  = 6\sqrt 2 .\)

Ta có: \(\cos B = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin B = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) (do B là góc nhọn)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}:2 = \frac{9}{2}\)