ta có (ab+ac)/2 = (ba+bc)/3 = (ca+cb)/4 

=ab+ac-ba-bc+ca+cb/2-3+4 = 2ac/3

=ab+ac+ba+bc-ca-cb/2+3-4 = 2ab

=ab+ac-ba-bc-ca-cb/2-3-4 = 2bc/5

=> 2ac/3=2ab=2bc/5

Ta có 2ac/3=2ab/1 =>c/3 = b/1 => c/15 = b/5    (1)

          2ac/3 = 2bc/5 => a/3 = b/5                         (2)

từ (1) và(2) => a/3 = b/5 = c/15

bạn 2-3-4=5 ??

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:

(a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2ab + 2bc + 2ca

=> 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2 (ab + bc + ca) (1) (a2 + 1) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2a + 2b + 2c

=> a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) (2)

Cộng các vế của (1) và (2) ta có:

3 ( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 2 (ab + bc + ca + a + b + c)

=> 3( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 12 => a2 + b2 + c2 ≥ 3.

Ta có: (a^3/b + ab ) + ( b^3/c + bc ) + ( c^3/a + ca)≥ 2(a2 + b2 + c2) (CÔ SI) 

<=>a^3/b + b^3/c + c^3/a +ab + bc + ac  ≥ 2(a2 + b2 + c2)

Vì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca => a^3 + b^3 + c^3 ≥ a2 + b2 + c2 ≥ 3 (đpcm).

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:

\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)

\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2a+2b+2c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) (2)

Cộng (1) với (2)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge12\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Ta có: \(\left(\dfrac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\dfrac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\dfrac{c^3}{a}+ca\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\) (đpcm).

Xét BĐT phụ: `a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca(**)`

`BĐT(**)<=>1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0AAa;b;c` xảy ra dấu "=" khi `a=b=c`

Từ `BĐT(**)` cộng hai vế với `2(ab+bc+ca)` ta có `(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)<=>(a+b+c)^2/3>=ab+bc+ca`

-----

Ta có `6=a+b+c+ab+bc+ca<=a+b+c+(a+b+c)^2/3=t^2/3+t(t=a+b+c>0)`

`=>t^2/3+t-6>=0=>t>=3` hay `a+b+c>=3`

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

`a^3/b+b^3/c+c^3/a=a^4/(a)+b^4/(bc)+c^4/ca>=(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)>=a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3=3`

\(a,\dfrac{3}{a+b}=\dfrac{2}{b+c}=\dfrac{1}{c+a}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{b+c}{2}=\dfrac{c+a}{1}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{6}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow3\left(a+b+c\right)=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3\left(a+b\right)+3c=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3c=0\\ \Rightarrow c=0\)

Vậy \(P=\dfrac{a+b-2019c}{a+b+2018c}=\dfrac{a+b}{a+b}=1\)

Cân bằng hệ số:

Giả sư: \(2a^2+ab+2b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\) (ta đi tìm x ; y)

\(=xa^2+x.2ab+xb^2+ya^2-y.2ab+yb^2\)

\(=\left(x+y\right)a^2+2\left(x-y\right)ab+\left(x+y\right)b^2\)

Đồng nhất hệ số ta được: \(\hept{\begin{cases}x+y=2\\2\left(x-y\right)=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2x-2y=1\end{cases}}\Leftrightarrow4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\Leftrightarrow y=\frac{3}{4}\)

Do vậy: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)

Tương tự với hai BĐT còn lại,thay vào,thu gọn và đặt thừa số chung,ta được:

\(VT\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.2.\left(a+b+c\right)=\sqrt{\frac{5}{4}}.2.3=3\sqrt{5}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1

Hoa 

cả

mắt

chuẩn men

Kết bạn vs mk đc ko mai anh !

KẾT BẠN VOI MÌNH NHA MAI ANH