Cho \(x,y,z>=0\)thõa \(x+y+z=1\)và \(x^3+y^3+z^3=\frac{1}{9}\)tính \(C=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)làm ơn giúp mình với, cảm ơn các bạn nhìu!
Cho 3 số thực x;y;z thoả :
\(\hept{\begin{cases}3\left(x+y\right)+2\left(z+1\right)=0\\3xy+1=0\end{cases}}\)
Rút gọn biểu thức sau :
\(A=\frac{x^3-y^3+\left(z+1\right)\left(x^2-y^2\right)-x+y}{\left(x-y\right)^3}\)
Làm giúp mình nha....Cảm ơn m bạn nhìu ^^
Em thử ạ. Bài dài quá em chẳng biết có tính sai chỗ nào hay không nữa ;(
Từ giả thiết ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y=-\frac{2}{3}\left(z+1\right)\\xy=-\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{2}{3}\)
Và \(\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2-4xy=\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}\)
Ta có: \(A=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\left(z+1\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)^3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-\frac{1}{3}\right)+\left(z+1\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)^3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-\frac{1}{3}+\left(z+1\right)\left(x+y\right)-1\right)}{\left(x-y\right)^3}\)
\(=\frac{\left(x^2+y^2-\frac{1}{3}+\left(z+1\right)\left(x+y\right)-1\right)}{\left(x-y\right)^2}\)
\(=\frac{\left(\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(z+1\right)^2\right)}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}=\frac{-\frac{2}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}\)
\(=\frac{\left(\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(z+1\right)^2\right)}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}=\frac{-\frac{2}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}\)
Ơ....hình như em tính sai chỗ nào rồi:(
Nguyễn Khang
\(A=\frac{\left(x^2+y^2-\frac{1}{3}+\left(z+1\right)\left(x+y\right)-1\right)}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}\)
\(=\frac{\left(\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(z+1\right)^2-1\right)}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}\) ( như này mới đúng, e thiếu -1 ở tử )
\(=\frac{\frac{-2}{9}\left(z+1\right)^2-\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{2}.\frac{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}{\frac{4}{9}\left(z+1\right)^2+\frac{4}{3}}=\frac{-1}{2}\)
Phùng Minh Quân: Thanks a,bài dài quá e chẳng biết sai chỗ nào -,-
Cho x,y,z > 0 thoả x + y + z = xyz
CMR : \(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
Cảm ơn m bạn nhìu nha ^^
\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}}=\frac{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)}\)
\(=\frac{xyz}{xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)zx\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)}=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\)
Tương tự, ta cũng có: \(\frac{2y}{1+y^2}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)\(;\)\(\frac{3z}{1+z^2}=\frac{3xyz}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(VT=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{3xyz}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) ( đpcm )
1. Tìm các số a,b,c không âm thỏa mãn a+3c=8;a+2b=9 và tổng a+b+c có giá trị lớn nhất
2. Cho 3 số x,y,z khác 0 và x+y+z \(\ne\)0 thỏa mãn điều kiện:
\(\frac{\left(y+z-2x\right)}{x}=\frac{\left(z+x-2y\right)}{y}=\frac{\left(x+y-2z\right)}{z}\). Hãy chứng tỏ A = \(\left[1+\frac{x}{y}\right].\left[1+\frac{y}{z}\right].\left[1+\frac{z}{x}\right]\)là một số tự nhiên
Nhanh nha! Cảm ơn
\(\Rightarrow3+\frac{y+z-2x}{x}=3+\frac{x+z-2y}{y}=3+\frac{x+y-2z}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)
\(TH1:x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x=-\left(y+z\right),y=-\left(x+z\right),z=-\left(x+y\right)\)
\(A=\left(1+\frac{-y-z}{y}\right).\left(1+\frac{-x-z}{z}\right).\left(1+\frac{-x-y}{x}\right)\)
\(A=-\left(\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\right)=-1\)
\(TH2:x+y+z\ne0\)
\(\Rightarrow x=y=z\Rightarrow A=2^3=8\)
sai đề ròi: tớ làm 2 trường hợp luôn vì trường hợp x+y+z khác 0 thì A mới t/m thuộc N
mà đề là x+y+z khác 0 -.-
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x-y+z=-1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=\(\frac{x^3z^3}{\left(x+yz\right)\left(z+xy\right)\left(y+xz\right)^2}\)
Giúp mình với! Cảm ơn
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x-y+z=-1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=\(\frac{x^3z^3}{\left(x+yz\right)\left(z+xy\right)\left(y+xz\right)^2}\)
Giúp mình với! Cảm ơn
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x-y+z=-1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=\(\frac{x^3z^3}{\left(x+yz\right)\left(z+xy\right)\left(y+xz\right)^2}\)
Giúp mình với! Cảm ơn
1. Cho x,y,z>o và x+y+z=1. Tìm Min P=\(x\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+y\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+z\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\)
2. Cho x,y,z >0 và x+y+z=3.Tìm Min P=\(\frac{x^2}{y+1}\)+\(\frac{y^2}{z+1}\)+\(\frac{z^2}{x+1}\)
Nhanh lên nha các bn. mik cần gấp lắm. Sẽ tick 10 tick cho bn trả lời nhanh nhất!!
Cảm ơn nhìu^^ ありがとう
2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cosi ):
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
1:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
\(x\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+y\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+z\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{x+y+z}{1+y+1+z+1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{1}{3+\left(x+y+z\right)}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\frac{1}{4}\right]\)
\(=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
2. áp dạng bất đẳng thức cauchy - schwarz dạng engel
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{3^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
dấu bằng xay ra khi x=y=z=1
lm bất đẳng thức cô si nhé!!! Thanks
Bài 1:
Cho các số \(0\le x,y,z\le2\)và x + y + z = 3. Tìm GTNN P = \(x^3+y^3+z^3-3\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
Bài 2:
Cho x, y, z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thỏa mãn xyz = (1- x)(1- y)(1- z). Chứng minh trong ba số x(1- y), y(1- z) và z(1- x) có ít nhất một số không nhỏ hơn\(\frac{1}{4}\)
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE !!!
Bài 1:
Đặt a=x-1; b=y-1; c=z-1. Khi đó a;b;c\(\in\)[-1;1], a+b+c=0 và
\(P=\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\)
Ta có: \(0\le a^2+b^2+c^2\le2\)
Từ đây ta dễ thấy Min P=3 đạt được khi x=y=z=1
Ta xét tống T của 3 số x(1-y);y(1-x);z(1-x)
Ta có T=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x+y+z-xy-xz-yz
Theo giả thiết xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z-xy-xz-yz)-xyz
=> 2xyz=1-T => T=1-2xyz
Nhưng x2y2z2 =[x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]\(\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)
=> xyz\(\le\)\(\frac{1}{8}\Rightarrow2xy\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(T\ge1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(T\ge\frac{3}{4}\)nên trong 3 số x(1-x), y(1-y), z(1-z) có ít nhất một trong 3 số đó \(\ge\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Cho x;y;z > 0 thỏa mãn xyz = 1
Tìm GTLN của \(P=\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}+\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(x+z\right)+y}+\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\)
Các bạn giúp mình với.
Theo BĐT AM - GM cho 3 số dương, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3zx+x+y+z\)
\(\ge3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}=3zx+3xy+3=3\left(zx+xy+1\right)\)(Do xyz = 1)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(zx+xy+1\right)}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3\left(xy+yz+1\right)}\)(2); \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3\left(yz+zx+1\right)}\)(3)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\)
Ta có BĐT: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy, với a, b dương thì (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng BĐT trên và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left(z+x\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left[\left(\sqrt[3]{z}\right)^3+\left(\sqrt[3]{x}\right)^3\right]+\sqrt[3]{xyz}}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^3zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^2}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{zx}}=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(*)
Tương tự: \(\frac{1}{yz+zx+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(**); \(\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{yz}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(***)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (*), (**), (***), ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}=1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\le\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
https://h.vn//hoi-dap/question/873191.html
https://h.vn/hoi-dap/question/873191.html