Tam giác ABC thường, BC = a, trực tâm H. Tia BH, CH theo thứ tự cắt AC, AB tại M,N.
a) Chứng minh: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
b) Chứng minh: \(BH\cdot BM+CH\cdot CN=a^2\)
c) Giả sử \(\widehat{MHN}=120^0.\)Tính AH và MN theo a.
d) Chứng minh: \(\sin B\cdot\sin C-\cos C\cdot\cos B=cosA\)
Cho tam giác ABC nhọn có BC=a và H là trực tâm. Tia BH, CH theo thứ tự cắt AC,AB tại M,N
a)CM; ∠AMN=∠ABC
b)CM: \(BH\cdot BM+CH\cdot CN=a^2\)
c)Giả sử ∠MHN=120o. Tính AH và MN theo a
d)CM: \(\sin B\cdot\sin C-\cos C\cdot\cos B=\cos A\)
e)Giả sử∠A=2∠B.CM:\(AC^2+AB\cdot AC=a^2\)
a) Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có
\(\widehat{NAC}\) chung
Do đó: ΔAMB∼ΔANC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
Xét ΔAMN và ΔABC có
\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)(cmt)
\(\widehat{NAM}\) chung
Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔABC(c-g-c)
Suy ra: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(hai góc tương ứng)
b) Gọi giao điểm của AH và BC là K
Xét ΔCHK vuông tại K và ΔCBN vuông tại N có
\(\widehat{HCK}\) chung
Do đó: ΔCHK∼ΔCBN(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CK}{CN}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(CH\cdot CN=CB\cdot CK\)
Xét ΔBHK vuông tại K và ΔBCM vuông tại M có
\(\widehat{HBK}\) chung
Do đó: ΔBHK∼ΔBCM(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BM}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(BH\cdot BM=BC\cdot BK\)
Ta có: \(BH\cdot BM+CH\cdot CN\)
\(=BC\cdot BK+BC\cdot CK\)
\(=BC^2=a^2\)(đpcm)
Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao.
a/Chứng minh \(AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)
b/Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh \(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)
Giả sử M,N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\)và \(\widehat{MBA}=\widehat{NBC}\)
CMR: \(\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BC\cdot BA}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1\)
*hinh tu ve*
Xét phép vị tự quay S có tâm B, góc quay (BM,BA) \(\left(mol\pi\right)\)và tỉ số \(k=\frac{BM}{BA}\)
Ta có S: \(M\rightarrow A,C\rightarrow H\in BN\)
Khi đó: (HN,HC) = (AB,AM) = ((AN,AC) \(\left(mol\pi\right)\)
Nên A,N,C, H đồng viên. Theo định lý Ptolemy ta có:
HB.AC=AC(BH+NH)=AC.BH+AN.CH+AH.CN
Lại theo tính chất của phép tự vị quay thì \(k=\frac{BA}{BM}=\frac{HC}{AM}=\frac{HA}{CM}=\frac{HB}{BC}\)
\(\Rightarrow HC=\frac{AM\cdot AB}{BM};BH=\frac{AB\cdot BC}{BM};HA=\frac{AB\cdot MC}{BM}\)
\(\Rightarrow\frac{AB\cdot BC}{BM}\cdot AC=AC\cdot BN+\frac{AM\cdot AB}{BM}\cdot AN+\frac{AB\cdot MC}{BM}\cdot CN\)
hay \(\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BC\cdot BA}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}=1\)
Bài 1;Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH _l_ BC tại H.
a) Tìm góc bằng góc C.
b) Chứng minh rằng AB2 + CH2 = AC2 +BH2.
Bài 2: Cho tam giác MNP cân tại M. Gọi I là trung điểm cạnh NP. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat{MNP}\)=\(\widehat{MNP}\)
b) MI_I_ NP.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A.Tia phân giác của góc ABC cắt ACC ở M. Trên tia BC lấy điểm D sao cho BD=BA.
a) Chứng minh:tam giác ABM=tam giác DBM.
b) Chứng minh: MD_I_ BC.
c) Tia BA cắt tia DM tại E.Chứng minh: AD// CE.
Có bạn nài làm đc ko v
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN
a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân
b) Kẻ \(BH\perp AM\left(H\in AM\right)\), kẻ \(CK\perp AN\left(K\in AN\right)\). Chứng minh rằng BH = CK
c) Chứng minh rằng AH = AK
d) Khi \(\widehat{BAC}=60^0\) và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạng của tam giác OBC ?
a) ∆ABC cân, suy ra ˆB1=ˆC1B1^=C1^
⇒ˆABM=ˆACN⇒ABM^=ACN^
∆ABM và ∆CAN có:
AB = AC (gt)
ˆABM=ˆACNABM^=ACN^
BM = ON (gt)
Suy ra ˆM=ˆNM^=N^
=>∆AMN là tam giác cân ở A.
b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :
BM = CN (gt)
ˆM=ˆNM^=N^ (CM từ câu a)
Nên ∆BHM = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra BH = CK.
c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)
Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).
Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK
Vậy AH = AK.
d) ∆BHM = ∆CKN suy ra ˆB2=ˆC2B2^=C2^
Mà ˆB2=ˆB3;ˆC2=ˆC3B2^=B3^;C2^=C3^ (đối đỉnh)
Nên ˆB3=ˆC3B3^=C3^ .
Vậy ∆OBC là tam giác cân.
e) Khi ˆBAC=600BAC^=600 và BM = CN = BC.
+Tam giác cân ABC có ˆBAC=600BAC^=600 nên là tam giác đều.
Do đó: AB = BC = AC = BM = CN
ˆABM=ˆACN=1200ABM^=ACN^=1200 (cùng bù với 600)
∆ABM cân ở B nên ˆM=ˆBAM=1800−12002=300M^=BAM^=1800−12002=300 .
Suy ra ˆANM=ˆAMN=300ANM^=AMN^=300 .
Và ˆMAN=1800−(ˆAMN+ˆANM)=1800−2.300=1200MAN^=1800−(AMN^+ANM^)=1800−2.300=1200
Vậy ∆AMN có ˆM=ˆN=300;ˆA=1200.M^=N^=300;A^=1200.
+∆BHM có: ˆM=300M^=300 nên ˆB2=600B2^=600 (hai góc phụ nhau)
Suy ra ˆB3=600B3^=600
Tương tự ˆC3=600C3^=600
Tam giác OBC có ˆB3=ˆC3=600B3^=C3^=600 nên tam giác OBC là tam giác đều.
(Tam giác cân có một góc bằng 600 nên là tam giác đều).
a) ∆ABC cân, suy ra ˆB1=ˆC1
⇒ˆABM=ˆACN
∆ABM và ∆CAN có:
AB = AC (gt)
ˆABM=ˆACN
BM = ON (gt)
Suy ra ˆM=ˆN
=>∆AMN là tam giác cân ở A.
b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :
BM = CN (gt)
ˆM=ˆN (CM từ câu a)
Nên ∆BHM = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra BH = CK.
c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)
Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).
Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK
Vậy AH = AK.
d) ∆BHM = ∆CKN suy ra ˆB2=ˆC2
Mà ˆB2=ˆB3;ˆC2=ˆC3 (đối đỉnh)
Nên ˆB3=ˆC3
Vậy ∆OBC là tam giác cân.
e) Khi ˆBAC=60o và BM = CN = BC.
+Tam giác cân ABC có ˆBAC=60o nên là tam giác đều.
Do đó: AB = BC = AC = BM = CN
ˆABM=ˆACN=120o (cùng bù với 600)
∆ABM cân ở B nên ˆM=ˆBAM=180o−120o / 2=30o
Suy ra góc ANM = góc AMN=30o
Và góc MAN=1800−(góc AMN+góc ANM)=1800−2.30o=120o
Vậy ∆AMN có góc M = góc N=30o ; góc A=120o
+∆BHM có: góc M=30o nên góc B2 = 60o (hai góc phụ nhau)
Suy ra góc B3=60o
Tương tự góc C3=60o
Tam giác OBC có góc B3 = góc C3=60o nên tam giác OBC là tam giác đều.
(Tam giác cân có một góc bằng 600 nên là tam giác đều).
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường cáo Ah ( \(H\in BC\))
1) Chứng minh \(\widehat{B}=\widehat{C}\). Ngoài ra chứng minh \(\widehat{B}=\widehat{C}=90^0-\frac{A}{2}\)
2) Chứng minh HB = HC và \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
3) Trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN. Chứng minh tam giác AMN cân tại A và chứng minh MN // BC
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\) (tính chất tam giác cân).
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\) (định lí tổng 3 góc trong một tam giác).
=> \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^0-\widehat{A}\) (1).
Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{\widehat{A}}{2}\) (2).
Từ (1) và (2) => \(\widehat{B}=\widehat{C}=180^0-\frac{\widehat{A}}{2}.\)
b) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AHB\) và \(AHC\) có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
Cạnh AH chung
=> \(\Delta AHB=\Delta AHC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
=> \(HB=HC\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (2 góc tương ứng).
c) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AM+BM=AB\\AN+CN=AC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BM=CN\left(gt\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(AM=AN.\)
=> \(\Delta AMN\) cân tại A.
Chúc bạn học tốt!
1. Cho △ABC có AB là cạnh lớn nhất, BC là cạnh nhỏ nhất. Chứng minh rằng \(\widehat{C}>60^o\), \(\widehat{A}\le60^o\).
2. Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC.
a) Giả sử AB < AC. Chứng minh \(\widehat{MAC}< \widehat{BAM}\)
b) Giả sử \(\widehat{MAC}< \widehat{BAM}\). Chứng minh AB < AC.
c) Gọi N là trung điểm AC, AM cắt BN tại G. Giả sử AM ⊥ BN. Chứng minh 2AC > BC.
3.
a) Cho △ABC cân tại A, D là điểm bất kì trong △ABC sao cho \(\widehat{ADB}< \widehat{ADC}\). Chứng minh BD > DC
b) Cho △ABC vuông tại A. Chứng minh rằng \(AB^{2017}+AC^{2017}< BC^{2017}\)
Bài 2 :
a, - Kéo dài AM tới điểm D sao cho AM = MD .
- Ta có : \(\widehat{M_1}\) và \(\widehat{M_2}\) đối đỉnh .
=> \(\widehat{M_1}\) = \(\widehat{M_2}\)
- Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}BM=CM\left(GT\right)\\\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\left(cmt\right)\\AM=DM\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta ABM\) = \(\Delta DCM\) ( c - g - c )
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{D_2}\) ( góc tương ứng )
=> \(AB=CD\) ( cạnh tương ứng )
Mà \(AB< AC\left(GT\right)\)
=> \(CD< AC\)
=> \(\widehat{MAC}< \widehat{ADC}\) ( quan hệ cạnh góc đối diện )
Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{BAM}\) ( cmt )
=> \(\widehat{BAM}>\widehat{MAC}\) ( đpcm )
Cho tam giác ABC có \(\widehat B > \widehat C\). Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D.
a) Chứng minh \(\widehat {ADB} < \widehat {ADC}\).
b) Kẻ tia Dx nằm trong góc ADC sao cho \(\widehat {ADx} = \widehat {ADB}\). Giả sử tia Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Chứng minh: \(\Delta ABD = \Delta AED,AB < AC\).
a) Ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)(vì AD là phân giác của góc BAC).
Mà \(\widehat B > \widehat C\)nên \(\widehat B + \widehat {BAD} > \widehat C + \widehat {CAD}\).
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:
\(\begin{array}{l}\widehat B + \widehat {BAD} > \widehat C + \widehat {CAD}\\ \to 180^\circ - (\widehat B + \widehat {BAD}) < 180^\circ - (\widehat C + \widehat {CAD})\\ \to \widehat {ADB} < \widehat {ADC}\end{array}\)
b) Xét hai tam giác ADB và tam giác ADE có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ADE}\);
AD chung;
\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\).
Vậy \(\Delta ABD = \Delta AED\) (g.c.g)
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.
Trong tam giác ABC có \(\widehat B > \widehat C\) nên AC > AB hay AB < AC (AB là cạnh đối diện với góc C, AC là cạnh đối diện với góc B).
