Lời giải:

Ta có:

$f(-1)=a-b+c$

$f(2)=4a+2b+c$

Cộng lại ta có: $f(-1)+f(2)=5a+b+2c=0$

$\Rightarrow f(-1)=-f(2)$

$\Rightarrow f(-1)f(2)=-f(2)^2\leq 0$ (đpcm)

Q(2)=a.2²+b.2+c=a.4+b.2+c

Q(-1)=a.(-1)²+b.(-1)+c=a-b+c

Ta có Q(2)+Q(-1)=4a+2b+c+a-b+c=5a+b+2c=0

Như vậy Q(2) và Q(-1) là 2 số đối nhau

=> Tích của chúng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 ( Bằng 0 khi cả 2 số đều bằng 0)

b) Q(x)=0 với mọi x

=>Q(0)=a.0²+b.0+c=0

=>0+0+c=0

=>c=0

Q(1)=a.1²+b.1+c=a+b+c=0

Theo câu a, ta có Q(-1)=a-b+c=0 ( vì giả thiết cho đa thức =0 với mọi x)

=>Q(1)-Q(-1)=a+b+c-(a-b+c)=a+b+c-a+b-c=0

=>2b=0

=>b=0

Thay b=0 và c=0 vào đa thức Q(1) ta có a+0+0=0

=>a=0

Vậy a=b=c=0

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=a\cdot2^2+2b+c=4a+2b+c\\f\left(-5\right)=a\cdot\left(-5\right)^2-5b+c=25a-5b+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)\cdot f\left(-5\right)=\left(4a+2b+c\right)\left(25a-5b+c\right)\)

Lại có:\(25a-5b+c=29a+2c-c-4a-5b\)

\(=3b-c-4a-5b=-2b-c-4a=-\left(4a+2b+c\right)\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)\cdot f\left(-5\right)=-\left(4a+2b+c\right)\left(4a+2b+c\right)\)

\(=-\left(4a+2b+c\right)^2\le0\forall a,b,c\)

=> Q(2)=a2^2+2b+c=4a+2b+c

Q(-1)=a(-1)^2+(-1)b+c=a-b+c

Ta có: 4a+2b+c=5a+b+2c-a+b-c=0-a+b-c=-a+b-c

=>Q(2).Q(-1)=(4a+2b+c).(a-b+c)=(-a+b-c).(a-b+c)=-(a-b+c).(a-b+c)≤ 0 với mọi a,b,c

Nhầm đây mới là câu trả lời:

Ta có:Q(x)=ax²+bx+x

=>Q(2)=a2^2+2b+c=4a+2b+c

Q(-1)=a(-1)^2+(-1)b+c=a-b+c

Ta có: 4a+2b+c=5a+b+2c-a+b-c=0-a+b-c=-a+b-c

=>Q(2).Q(-1)=(4a+2b+c).(a-b+c)=(-a+b-c).(a-b+c)=-(a-b+c).(a-b+c)≤ 0 với mọi a,b,c

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(f\left(2\right)=4a+2b+c\)

\(f\left(-1\right)=a-b+c\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)+f\left(-1\right)=4a+2b+c+a-b+c\)

\(\Leftrightarrow f\left(2\right)+f\left(-1\right)=5a+b+2c=0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)+f\left(-1\right)=0\Leftrightarrow f\left(2\right)=-f\left(-1\right)\)

\(\Leftrightarrow f\left(2\right).f\left(-1\right)=-f\left(-1\right).f\left(-1\right)\le0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

thanks

Ta có y=f(x)=a x^2+bx+c do đó

y=f(2)=a .2^2+b2+c

        =a .4+b2+c   (1)

y=f(-1)=a (-1)^2+b(-1)+c

          =a 1+b(-1)+c  (2)

từ 1 và 2 suy ra f(2)+f(-1)=(a .4+b2+c)+(a 1+b(-1)+c)

                                        =5a+b+2c

                                       =0

suy ra f(2),f(-1) khác dấu hoặc bằng 0

suy ra  f(2)f(-1) bé hơn hoặc bằng 0

\(f\left(2\right)=a.2^2+b.2+c=4a+2b+c\)

\(f\left(-5\right)=a.\left(-5\right)^2+b.\left(-5\right)+c=25a-5b+c\)

\(f\left(2\right)+f\left(5\right)=4a+2b+c+25a-5b+c=29a-3b+2c\)

\(=\left(29a+2c\right)-3b=3b-3b=0\)

\(\Leftrightarrow f\left(2\right)=-f\left(-5\right)\)

\(\Leftrightarrow f\left(2\right)f\left(-5\right)\le0\).

a, Có: Q(2) = 4a+2b+c
Q(-1) = a - b + c
=> Q(2) + Q(-1) = 5a+b+2c =0
=> Hai số này trái dấu nhau hoặc cùng bằng 0
=> đpcm
b, Có Q(1) = a+b+c = 0 (gt)
Mà Q(-1) = a -b+c = 0
=> a+b+c=a-b+c
=> b = - b
Điều này chỉ xảy ra khi b=0
Lại có Q(0) = c = 0
=> c = 0
Với b=0 ; c=0 ta có Q(x) = ax^2 = 0 với mọi x
<=> a = 0
Vậy a=b=c=0 ( đpcm )

a) Q(2) = a.2² + b.2 + c = 4a + 2b + c

Q(-1) = a.(-1)² + b.(-1) + c = a - b + c

Cộng vế với vế ta được: Q(2) + Q(-1) = 5a + b + 2c = 0

=> Q(2) = -Q(-1)

=> Q(2).Q(-1) = -Q(-1).Q(-1) = -[Q(-1)]² \(\le0\) (đpcm)

b) Q(x)=0 với mọi x => Q(0) = 0; Q(1) = 0; Q(-1) = 0

Ta có: Q(0) = a.0² + b.0 + c = 0 => c = 0

Q(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + 0 = 0 (1)

Q(-1) = a.(-1)² + b.(-1) + c = a - b + 0 = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra Q(1) - Q(-1) = 2b = 0 => b = 0

Thay vào (1) ta có a = 0

Vậy ta có đpcm

Nguyễn Nhật Minh