Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn \(a^2+b^2=1\)và \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}=\frac{1}{c+d}\)
CMR: \(\frac{a^2}{c}+\frac{d}{b^2}\ge2\)
Các bác giải hộ cái, e đang cần gấp
Cho a;b;c;d > 0 thỏa mãn đồng thời các đk \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=1\\\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}=\frac{1}{c+d}\end{cases}}\). CMR: \(\frac{a^2}{c}+\frac{d}{b^2}\ge2\)?
(P/s: Đang cần gấp nhé !)
\(\frac{d}{b^2}\) hay \(\frac{b^2}{d}\)hả bạn?
Ta có: \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{c+d}=\frac{1}{c+d}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{d}\)
Do đó: \(VT=\frac{a^2}{c}+\frac{b}{d^2}=\frac{d^2}{b}+\frac{b}{d^2}\ge2\sqrt{\frac{d^2}{b}.\frac{b}{d^2}}=2\)
Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a^2+b^2=1 và \(\frac{a^4}{b}+\frac{c^4}{d}=\frac{1}{b+d}\)
CMR \(\frac{a^{2006}}{b^{1003}}+\frac{c^{2006}}{d^{1003}}=\frac{2}{\left(b+d\right)^{1003}}\)
Cho a,b,c,d là 4 số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=1.CMR:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Bunyakovsky dạng phân thức
Theo bất đẳng thức Svacxo :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
cho a, b, c, d là các sô dương thoả mãn \(a^2+b^2=1\) và \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}=\frac{1}{c+d}\)chứng minh rằng \(\frac{a^2}{c}+\frac{d}{b^2}\ge2\)
Nhờ mọi người giúp với, minh đang cần gấp
Câu 1: Cho 4 số dương a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=4.
CMR: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge2\)
Câu 2: Tìm m để hệ phương trình \(mx^2+\left(m^2-m\right)x+1\ge0\)nghiệm đúng với mọi \(x\inℝ\)
Ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+1}==1-\frac{b^2}{b^2+1}\)
\(\frac{1}{c^2+1}==1-\frac{c^2}{c^2+1}\)
\(\frac{1}{d^2+1}==1-\frac{d^2}{d^2+1}\)
Đặt \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}=P\)
\(\Rightarrow P=4-\frac{a^2}{a^2+1}-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{d^2}{d^2+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge4-\frac{a^2}{2a}-\frac{b^2}{2b}-\frac{c^2}{2c}-\frac{d^2}{2d}=4-\frac{a+b+c+d}{2}=4-\frac{4}{2}=4-2=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=1;b^2=1;c^2=1;d^2=1\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=1\)
Cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\)
CMR abcd là Số chính phương
Cần gấp!
Câu hỏi của CTV - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
https://olm.vn/hoi-dap/detail/233583386184.html
ĐÂY CÓ NHA!
các bạn bạn nào làm đc ý nào thì làm giúp đỡ mình một tí :
a/ cho các số thực a,b,c,d,e khác 0 thỏa mãn\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\)
cm rằng \(\frac{2a^2+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^2+3c^4+4d^4+5e^4}=\frac{a}{e}\)
b/ cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
háy so sánh \(\frac{a}{b}\)với\(\frac{a+c}{b+d}\)
c/ cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a=b=c=2016
cm biểu thức sau ko phải là 1 số nguyên
\(A=\frac{a}{2016-c}+\frac{b}{2016-a}+\frac{c}{2016-b}\)
thank các bạn nhiều
bạn nào làm đc mình tích cho nhé
b, Có: a/b < c/d => ad < bc
Xét a.(b+d)-b.(a+c) = ab+ad-ba-bc = ad-bc < 0
=> a.(b+d) < b.(a+c)
=> a/b < a+c/b+d
c, Đề phải là cho a+b+c = 2016 chứ bạn
Có : A = a/a+b+c-c + b/a+b+c-a + c/a+b+c-b = a/a+b + b/b+c + c/c+a
Vì a,b,c thuộc Z+ nên a/a+b > 0 ; b/b+c > 0 ; c/c+a > 0
=> A > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c = 1
Lại có : a < a+b ; b < b+c ; c < c+a => 0 < a/a+b < a ; 0 < b/b+c < 1 ; 0 < c/c+a < 1
=> A < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c = 2
=> 1 < A < 2
=> A ko phải là số tự nhiên
Tk mk nha
a,ÁP DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
TA CÓ:\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{b}{c}\)=\(\frac{c}{d}\)=\(\frac{d}{e}\)=>\(\frac{2a^2}{2b^2}\)=\(\frac{3b^2}{3c^2}\)=\(\frac{4c^2}{4d^2}\)=\(\frac{5d^2}{5e^2}\)=\(\frac{2a^2+3b^2+4c^2+5d^2}{2b^2+3c^2+4d^2+5e^2}\)(đfcm)
Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\) và b là TBC của a và c.
CMR: Từ 4 số a,b,c,d có thể lập thành tỉ lệ thức.
Ta có:
\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)=\frac{b+d}{2bd}\)
\(\Rightarrow2bd=c\left(b+d\right)\left(2\right)\)
Do b là TBC của a và c nên \(b=\frac{a+c}{2}\)
Thay vào (1) ta có: \(2.\frac{a+c}{2}.d=c.\left(\frac{a+c}{2}+d\right)\)
=> (a + c).d = \(\frac{c.\left(a+c+2d\right)}{2}\)
=> (a + c).2d = c.(a + c + 2d)
=> 2ad + 2cd = ac + c2 + 2cd
=> 2ad = ac + c2 = c.(a + c) = c.2b
=> ad = bc
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right)\)
1. Cho các số \(a,b,c\)dương thỏa mãn \(ab+ac+bc=1\)
CMR : P= \(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{9}{4}\)
2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1
Tìm GTLN của biểu thức \(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)
3. Giải pt
a) \(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}\)
b)\(CM:\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
c) Cho đường thẳng y= (m-2)x + 2 (d). CMR đg thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m
4. Cho x,y là các số dương
a) CM \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
b) Tìm Min M = \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0