a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a:\(BC=\sqrt{4^2+3^2}=5\left(cm\right)\)

AH=4*3/5=2,4cm

b: ΔCAD cân tại C

mà CH là đường cao

nên CH là phân giác của góc ACD

Xét ΔCAB và ΔCDB có

CA=CD

góc ACB=góc DCB

CB chung

Do dó: ΔCAB=ΔCDB

=>góc CDB=90 độ

=>BD là tiếp tuyến của (C)

xét tam giác ABC vuông tại A . áp dụng Pytago

=>\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\)

\(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5cm\)

có \(AC^2=CH.BC\)(hệ thức lượng)

\(=>CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{4^2}{5}=3,2cm\)

có tam giác AHC vuông tại H

=>\(AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{4^2-3,2^2}=2,4cm\)

=>\(S\left(\Delta AHC\right)=\dfrac{AH.HC}{2}=\dfrac{ }{ }\)\(\dfrac{2,4.3,2}{2}=3,84cm^2\)

Bài 5: 

a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\cot\widehat{C}\)

\(=21\cdot\cot40^0\)

\(\simeq25,03\left(cm\right)\)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+25,03^2=1067,5009\)

hay \(BC\simeq32,67\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\&\Delta ABH\) ta có:

\(\widehat{A}=\widehat{B}=90^o\left(gt\right)\\ \widehat{B}=\widehat{B}\\\Rightarrow \Delta ABC\&\sim ABH\)

Xét ∆AHB và ∆CBA có:

∠AHB = ∠CAB = 90⁰

∠B chung

⇒ ∆AHB ∽ ∆CBA (g-g)

Xét  ta có:

góc A= góc B= 90 độ (gt)

góc B= góc B

⇒ΔABC&∼ABH

a: Xet ΔHBA và ΔABC có

góc BHA=góc BAC

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

b: ΔABC vuông tại A có AH vuông góc BC

nên BA^2=BH*BC

\(AB=\sqrt{3\cdot12}=6\left(cm\right)\)

\(AH=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

c: Xet ΔCAE có KD//AE
nên KD/AE=CK/CE

Xét ΔCEB có KH//EB

nên KH/EB=CK/CE=KD/AE
mà AE=EB

nên KH=KD