Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (0; 1).

Khi đó M′ = T v → ( M ) = (0 − 2; 1 + 1) = (−2; 2) thuộc d'.

Vì d' song song với d nên phương trình của nó có dạng 2x − 3y + C = 0.

Do M' ∈ d′ nên 2.(−2) − 3.2 + C = 0. Từ đó suy ra C = 10 .

Do đó d' có phương trình 2x − 3y + 10 = 0.

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow x+3y+1=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến nói trên thì \(M'\in d'\) với d' là ảnh của d

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+3\\y'=y-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-3\\y=y'+2\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(x'-3+3\left(y'+2\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow x'+3y'+4=0\)

Vậy pt ảnh có dạng \(x+3y+4=0\)

Gọi là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vecto

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'-3\end{matrix}\right.\)

do M (x' ; y') \(\in\) d nên

\(3x-5y+3=0\)

\(\Rightarrow3\left(x'-2\right)-5\left(y'-3\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow3x'-5y'+12=0\left(d'\right)\)

vậy \(M'\left(x';y'\right)\in d':3x'-5y'+12=0\)

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó \(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=3-1=2\\y'=5+2=7\end{matrix}\right.\)

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có: \(A=T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)\Leftrightarrow C=^T\overrightarrow{-v}\left(A\right)=\left(4;3\right)\)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = \(^T\overrightarrow{v}\) =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy \(^T\overrightarrow{v}\) (d) = d'.

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(^T\overrightarrow{v}\)(d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó \(^T\overrightarrow{v}\) (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8.

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó

(A) = A' ⇔

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có A = (C) ⇔ C= (A) = (4;3)

c)Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy (d) = d'

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi (d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8

Không hiểu câu hỏi số 2 của em

Ở đây có 2 pt đường tròn khác nhau, vậy (C) là cái nào trong 2 cái trên? Hoặc đề yêu cầu tìm ảnh của cả 2 đường tròn?

1.

a/ Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow x-y+3=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến vecto \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y-1\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1)  \(\Rightarrow\left(x'-2\right)-\left(y'+1\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow x'-y'=0\)

Vậy pt d' có dạng: \(x-y=0\)

b/ Tương tự như trên, vẫn gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là điểm thuộc d' và \(M\left(x;y\right)\) là ảnh của M' qua phép tịnh tiến

\(\Rightarrow M\in d\Rightarrow x-y+3=0\) (2)

Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x'+2\\y=y'-1\end{matrix}\right.\) thế vào (2):

\(x'+2-\left(y'-1\right)+3=0\Leftrightarrow x'-y'+6=0\)

Vậy pt d' có dạng: \(x-y+6=0\)

2.

a. Đường tròn (C) có tâm \(I\left(1;-3\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Gọi \(\left(C'\right)\) có tâm \(I'\left(x';y'\right)\) bán kính \(R'\) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến 

\(\Rightarrow R'=R=\sqrt{2}\) và I' là ảnh của I qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x_I+3=4\\y'=y_I+2=-1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (C'): \(\left(x-4\right)^2+\left(y+1\right)^2=2\)

b. Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;-1\right)\) bán kính \(R=2\)

...trình bày tương tự như trên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x_I+3=5\\y'=y_I+2=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (C'): \(\left(x-5\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)

Ý bạn là phương trình đường thẳng?

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm thuộc \(\Delta\) và \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x-3\\y'=y+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'+3\\y=y'-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x'+3\right)-3\left(y'-2\right)+6=0\)

\(\Leftrightarrow x'-3y'+15=0\)

Vậy phương trình \(\Delta':\) \(x-3y+15=0\)

Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (0; 1).

Đường thẳng d 2  qua M vuông góc với có vectơ chỉ phương là  v   → =   ( 2 ;   − 3 ) .

Do đó phương trình của d 2  là  .

Gọi M' là giao của d 1  với d 2  thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình:

Từ đó suy ra 

Gọi M′(x′;y′) ∈ d′ là ảnh của M(x,y) ∈ d qua phép tịnh tiến theo vecto  v → ( 2 ; 3 )

Do M(x,y) ∈ d nên

3x − 5y + 3 = 0

⇒ 3(x′−2) − 5(y′−3) + 3 = 0

⇔ 3x′ − 5y′ + 12 = 0 (d′)

Vậy M′(x′;y′) ∈ d′: 3x′ − 5y′ + 12 = 0