mk bận đi ch nên chỉ tạm câu a nha 

vẽ 3 đường trung tuyến AD ; BE ; CF 

VT = 

\(GA+GB+GC\)   ( nhớ thêm dấu vec tơ nha ) 

\(=-\frac{2}{3}AD-\frac{2}{3}BE-\frac{2}{3}CF\)  

\(=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(AB+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(BA+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(CA+CB\right)\)     ( quy tắc hình bình hành ) 

\(=-\frac{1}{3}\left(AB+AC\right)-\frac{1}{3}\left(BA+BC\right)-\frac{1}{3}\left(CA+CB\right)\) 

\(=-\frac{1}{3}AB-\frac{1}{3}AC-\frac{1}{3}BA-\frac{1}{3}BC-\frac{1}{3}CA-\frac{1}{3}CB\)    

\(=0=VP\)

.... chua hoc

a: Gọi M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của AB

Do đó: CG=2/3CM

=>CG=2GM

=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)

* cái này là công thức rồi bn o cần chứng minh đâu

công thức : cho tam giác ABC ; nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Gọi M trung điểm BC

       G đối xứng D qua M

=> tứ giác BGCD là hình bình hành

=> GD=2.GM (Hình bình hành có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 

Mà AG = 2.GM ( \(\dfrac{AG}{GM}=\dfrac{2}{1},GA=\dfrac{2}{3}AM\) )

⇒ AG=GD

Mặt khác, G ϵ AD 

⇒\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\)

Ta có \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\) (Quy tắc hình bình hành)

Nên \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\) = \(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}\)   

Mà \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\) (cmt)

⇒\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{O}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CG}\)

\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}\)

Qua C, lấy K sao cho \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{GA}\)

=>CK//GA và CK=GA

Xét ΔABC đều có G là trọng tâm

nên AG⊥BC

=>CK⊥CB

Xét ΔABC đều có G là trọng tâm

nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>GA=GB=GC

Xét (G) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

nên \(\hat{BGC}=2\cdot\hat{BAC}=120^0\)

Xét tứ giác AGCK có

AG//CK

AG=CK

Do đó: AGCK là hình bình hành

Hình bình hành AGCK có AG=GC

nên AGCK là hình thoi

=>CA là phân giác của góc GCK

=>\(\hat{GCK}=2\cdot\hat{GCA}=60^0\)

Xét ΔGCK có GC=KC và \(\hat{GCK}=60^0\)

nên ΔGCK đều

=>\(\hat{KGC}=60^0\)

\(\hat{BGC}+\hat{KGC}=120^0+60^0=180^0\)

=>B,G,K thẳng hàng

Trên tia đối của tia GC, lấy E sao cho GC=GE

=>G là trung điểm của EC

Ta có: EC=2GC

BK=2GB

mà GC=GB

nên EC=BK

Xét tứ giác BCKE có

G là trung điểm chung của BK và CE

=>BCKE là hình bình hành

Hình bình hành BCKE có \(\hat{BCK}=90^0\)

nên BCKE là hình chữ nhật

=>\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CE}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)

=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=2\cdot\overrightarrow{CG}\)