Câu 1:
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
   AB² = AH² +  HB² (định lý Py-ta-go)
   20²  = AH² + 16²
   400  = AH² + 256
   AH² = 400 - 256
   AH² = 144
   AH  = \(\sqrt{144}\)= 12 (cm)

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
   AC² = AH² + HC² (định lý Py-ta-go)
   AC² = 12²  + 5²
   AC² = 144  + 25
   AC² = 169
   AC  = \(\sqrt{169}\)= 13 (cm)

Vậy AH = 12 cm
       AC = 13 cm

Bài 2:
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
   AC² = AH² + HC² (định lý Py-ta-go)
   15²  = AH² + 9²
   225  = AH² + 81
   AH² = 225 - 81
   AH² = 144
   AH  = \(\sqrt{144}\)= 12 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại, ta có:
   AB² = AH² + HB² (định lý Py-ta-go)
   AB² = 12²  + 5²
   AB² = 144  + 25
   AB² = 169
   AB  = \(\sqrt{169}\)= 13 (cm)

Vậy AB = 13 cm

Câu này dễ

AH 12cm

AC13cm

AB13cm

Hạ đường cao AH của △ABC

⇒AH⊥BC

Vì △ABC nhọn

⇒Điểm H nằm giữa 2 điểm B và C

Diện tích △ABC là: S_ABC=\(\dfrac{1}{2}\).BC.AH(1)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc vào △AHB(H=90⁰ ),ta có:

AH=AB.\(\sin B\)(2)

Từ (1) và (2)⇒S_{ABC=BC.AB.\(\sin B\)(đpcm)}

Bài 1:
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$. Ta có:

\(\sin A=\frac{BH}{AB}\)

Mà \(\frac{1}{2}BH.AC=S_{ABC}\Rightarrow BH=\frac{2S_{ABC}}{AC}\)

\(\Rightarrow \sin A=\frac{2S_{ABC}}{AB.AC}\)

\(\Rightarrow \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB.AC.BC}{2_{ABC}}\)

Hoàn toàn tương tự, kẻ đường cao từ đỉnh $B,C$ , cuối cùng ta có:

\(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AB.BC.AC}{2S_{ABC}}\)

Vậy ta có đpcm.

Bài 2:

Vì \(\cot a.\tan a=1\Rightarrow cot a=\frac{1}{\tan a}\). Thay vào pt đã cho ta có:

\(\tan a+\cot a=2\Leftrightarrow \tan a+\frac{1}{\tan a}=2\)

\(\Rightarrow \tan ^2a+1-2\tan a=0\)

\(\Leftrightarrow (\tan a-1)^2=0\Rightarrow \tan a=1\)

\(\Rightarrow a=\arctan (1)=\frac{\pi}{4}\) (radian) và bằng $45^0$

Vậy \(a=45^0\)

Kẻ AE vuông góc BC \(\Rightarrow ED=\dfrac{BD}{2}=1\Rightarrow AE=\sqrt{AD^2-ED^2}=2\)

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow AC=\dfrac{CD\sqrt{5}}{2}\)

Pitago: \(AE^2+EC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow AE^2+\left(ED+DC\right)^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow4+\left(1+DC\right)^2=\dfrac{5CD^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}CD^2-2CD-5=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}CD=10\\CD=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

a: Xét ΔADC vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

góc C chung

Do đó: ΔADC\(\sim\)ΔBEC

b: Xét ΔHAE vuông tại E và ΔHBD vuông tại D có

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\)

Do đó: ΔHAE\(\sim\)ΔHBD

Suy ra: HA/HB=HE/HD

hay \(HA\cdot HD=HE\cdot HB\)

a) Lỗi đánh máy à? ABC là tg vuông, trong khi BCE là tg nhọn => ko đồng dạng

b) Chứng minh 2 tg vuông AHE và BHD đồng dạng (g.g---góc vuông đã cho và 2 góc nhọn đối đỉnh)

=> tỉ số : HB/HA = HD/HE

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh ("nhân chéo")

c) Áp dụng đl Pi-ta-go tính AB

HC = ko biết (có thể liên quan đến câu a -- suy nghĩ riêng thôi)

\(\cos B=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}=\dfrac{3^2+6^2-4^2}{2\cdot3\cdot6}=\dfrac{29}{36}\)