Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)

           \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)

           \(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)

Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)

                       \(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)

Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)

CÁch 1: G/s họ đường thằng trên luôn tiếp xúc với parabol cố định: 
Khi đó:  có nghiệm kép với mọi m
hay  có nghiệm kép với mọi m
Cách 2: Gọi  là các điểm mà họ đường thẳng trên không đi qua.
Hay  vô nghiệm ẩn m
 vô nghiệm ẩn m

Xét đường biên: 
Lập phương trình hoành độ giao điểm ta được: 
Phương trình này luôn có 1 nghiệm kép nên (dm) luôn tiếp xúc (P)

Đồ thị © có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.Giao điểm của hai tiệm cận là I(1;2)
Gọi $M(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-1})\in \copyright$
Tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị © tại M có phương trình
y=$\frac{1}{(x_0-1{)}^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-3}{x_0-1}$
Giao điểm của $\Delta$ với hai tiệm cận của đồ thị © là $A(1;\frac{2x_0-4}{x_0-1})vàB(2x_0-1;2)$
ta có:IA=$|\frac{2x_0-4}{x_0-1}-2|=\frac{2}{|x_0-1|}$
IB=$2|x_0-1|$
Do đó diện tích $△IAB$ là: S=$\frac{1}{2}IAIB=2$
Gọi $p$ là nửa chu vi $△IAB$.Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp $△IAB$ là $r=\frac{S}{p}$=$\frac{2}{p}$
$r$ lớn nhất khi $p$ nhỏ nhất
mặt khác,ta có :$2p=IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}\ge 2\sqrt{IAIB}+\sqrt{2IAIB}=4+2\sqrt{2}$
Suy ra: $p_{min}=2+\sqrt{2}$,dấu bằng xẩy ra $\iff IA=IB\iff \frac{2}{|x_0-1|}=2|x_0-1|\iff [\begin{array}{c}{x}_0=0\\ x_0=2\end{array}$
với $x_0=0$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_1$:y=x+3
với $x_0=2$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_2$:y=x-1