Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

VT `=1+tan^2 α`

`=1+ (sin^2α)/(cos^2α)`

`= (cos^2α+sin^2α)/(cos^2α)`

`= 1/(cos^2α)`

a, \(1+tan^2a=\dfrac{1}{\cos^2a}\)

ĐT \(\Leftrightarrow\cos^2a\left(1+\tan^2a\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\cos^2a+\cos^2a.\tan^2a=1\)

\(\Leftrightarrow\cos^2a.\dfrac{\sin^2a}{\cos^2a}+\cos^2a=\sin^2a+\cos^2a=1\) ( ĐT đã có )

=> ĐPCM

Vậy ...

\(tanB=tan15^0=2-\sqrt{3}\)

Cách tính cụ thể:

Trên tia AC lấy D sao cho \(\widehat{ABD}=30^0\Rightarrow BC\) là phân giác của \(\widehat{ABD}\)

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{AC+CD}{AB+BD}=\dfrac{AD}{AB+BD}\) (1)

Lại có: \(tan\widehat{ABD}=tan30^0=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow AB=\sqrt{3}AD\) (2)

\(sin\widehat{ABD}=sin30^0=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BD=2AD\) (3)

Thế (2); (3) vào (1):

\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{\sqrt{3}AD+2AD}=2-\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow tanB=\dfrac{AC}{AB}=2-\sqrt{3}\)

THAM KHẢO

Gọi ba cạnh của ▲ là a,b,c>0
Giả sử cạnh huyền ▲ là a thì:
a² =b²+c² <=> b²+c²=13² =169 (1)
chu vi ▲ là 30 <=> a+b+c =30 <=> b+c = 30-13=17
<=> c= 17-b (2)
thay (2) vào (1) đc:
b² + (17-b)² =169 <=> b² -17b + 60 = 0
<=> (b-12)(b-5) = 0
<=> b=5 hoặc b=12
tương ứng c=12 và c=5
Vậy hai cạnh góc vuông dài 5m và 12m

a) Xét \(\Delta\)AOB vuông tại B có 

\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}\)(Tỉ số lượng giác góc nhọn)

\(\Leftrightarrow\cos\widehat{AOB}=\dfrac{R}{2\cdot R}=\dfrac{1}{2}\)

hay \(\widehat{AOB}=60^0\)

Vậy: \(\widehat{AOB}=60^0\)

b) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)

nên \(\widehat{AOB}+\widehat{BAO}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{BAO}=30^0\)

Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

hay \(\widehat{CAO}=30^0\)

Ta có: \(\widehat{CAO}+\widehat{MAO}=\widehat{MAC}\)(Vì tia AO nằm giữa hai tia AM,AC)

hay \(\widehat{MAO}=60^0\)

Xét ΔMOA có 

\(\widehat{MAO}=60^0\)(cmt)

\(\widehat{MOA}=60^0\)(\(\widehat{AOB}=60^0\))

Do đó: ΔMOA đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

⇒MA=MO(đpcm)

c) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)

mà BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)

nên \(BI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AI=\dfrac{OA}{2}\)(I là trung điểm của OA)

nên BI=AI(1)

Ta có: ΔOCA vuông tại C(OC⊥CA)

mà CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)

nên \(CI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AI=\dfrac{AO}{2}\)(I là trung điểm của OA)

nên CI=AI(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC

hay I là giao điểm 3 đường trung trực của ΔABC

Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BAO}+\widehat{CAO}\)(tia AO nằm giữa hai tia AB,AC)

hay \(\widehat{BAC}=60^0\)

Xét ΔABC có AB=AC(cmt)

nên ΔABC cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=60^0\)(cmt)

nên ΔABC đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Xét ΔABC đều có I là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác(cmt)

mà trong tam giác đều, giao điểm 3 đường trung trực cũng chính là giao điểm của 3 đường phân giác(Định lí tam giác đều)

nên I là giao điểm của 3 đường phân giác trong ΔBAC

hay I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC(đpcm)

5cos²a + 3sin²a = 4.5

-> 5(1 - sin²a) + 3sin²a = 4.5

-> 5 - 5sin²a + 3sin²a = 4.5

-> 2sin²a = 0.5

-> sin²a = 0.25

-> sin a = √0.25

-> a = 30

Vậy : Góc a bằng 30 độ

Xét ΔDEF vuông tại D có 

\(\sin\widehat{E}=\dfrac{DF}{FE}\)(tỉ số lượng giác góc nhọn)

\(\Leftrightarrow\sin60^0=\dfrac{DF}{18}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{DF}{18}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow DF=\dfrac{18\cdot\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\)

Vậy: \(DF=9\sqrt{3}cm\)

Xét ΔDEF vuông tại D có 

⇔sin600=DF18⇔sin⁡600=DF18

⇔DF=18⋅√32=9√3⇔DF=18⋅32=93

Vậy: 

Theo định lý Pytago ta tính được BC = 10cm

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

+) sinB = \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)

+) tanC = \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\)

=> sinB + tanC= \(\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{31}{20}\)