Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét ΔABC vuông tại A có tan B=AC/AB=4/3

nên góc B\(\simeq\)53 độ

=>góc C=90 độ-53 độ=37 độ

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

=>AH=6cm

ΔABH vuông tại H

=>AB^2=AH^2+HB^2=6^2+4^2=52

=>AB=2*căn 13(cm)

\(\dfrac{sinHAB+tanHAC}{tanB+tanC}\)

\(=\dfrac{\dfrac{HB}{AB}+\dfrac{HC}{AH}}{\dfrac{AH}{HB}+\dfrac{AH}{HC}}=\dfrac{\dfrac{4}{2\sqrt{13}}+\dfrac{9}{6}}{\dfrac{6}{4}+\dfrac{9}{4}}=\dfrac{12+9\sqrt{13}}{6\sqrt{13}}:\dfrac{15}{4}\)

\(=\dfrac{4\left(12+9\sqrt{13}\right)}{90\sqrt{13}}=\dfrac{12\left(4+\sqrt{13}\right)}{90\sqrt{13}}=\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{4+\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)

Ta có:

\(1+tan^2x=\dfrac{1}{cos^2x}\)

\(\Leftrightarrow cos^2x=\dfrac{1}{1+tan^2x}\)

\(\Leftrightarrow cos^2x=\dfrac{1}{1+3^2}\)

\(\Leftrightarrow cosx=\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)

Mà: \(tanx=\dfrac{sinx}{cosx}\)

\(\Leftrightarrow sinx=tanx\cdot cosx\)

\(\Leftrightarrow sinx=3\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{10}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)

Giá trị của A là:

\(A=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{10}}{10}+4\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{10}}{2\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{10}-\dfrac{\sqrt{10}}{10}}\)

\(A=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{10}}{10}+\dfrac{4\sqrt{10}}{10}}{\dfrac{6\sqrt{10}}{10}-\dfrac{\sqrt{10}}{10}}\)

\(A=\dfrac{\dfrac{7\sqrt{10}}{10}}{\dfrac{5\sqrt{10}}{10}}\)

\(A=\dfrac{7}{5}\)

tan=3

=>sin=3*cos

\(A=\dfrac{sin+4cos}{2sin-cos}=\dfrac{3cos+4cos}{6cos-cos}=\dfrac{7}{5}\)

2:

a: BC=căn AB^2+AC^2

=căn 16+48=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có

sin C=AB/BC=1/2

=>góc C=30 độ

=>góc B=60 độ

b: Xét tứ giác ADHE có

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên BD*DA=HD^2

ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên EC*EA=HE^2

=>BD*DA+EC*EA=HE^2+HD^2=DE^2=AH^2

a: cot B=12/5

=>tan B=5/12

=>AC/AB=5/12

=>AB=12cm

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=13\left(cm\right)\)

b: cot B=12/5

=>\(\widehat{B}\simeq23^0\)

=>\(\widehat{C}=90^0-23^0=67^0\)

c:

Xét ΔABC có  BD là phân giác trong của góc ABC

nên AD/AB=CD/CB

=>AD/12=CD/13

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{12}=\dfrac{CD}{13}=\dfrac{AD+CD}{12+13}=\dfrac{5}{25}=0.2\)

=>AD=2,4cm; CD=2,6cm

Ta có:

\(cot\alpha\cdot tan\alpha=1\)

\(\Rightarrow cot\alpha=\dfrac{1}{tan\alpha}\)

\(\Rightarrow cota=\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}\)

Mà:

\(cot^2\alpha+1=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\)

\(\Rightarrow sin\alpha=\sqrt{\dfrac{1}{cot^2\alpha+1}}\)

\(\Rightarrow sin\alpha=\sqrt{\dfrac{1}{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+1}}=\dfrac{3}{5}\) 

Lại có:

\(cos^2\alpha+sin^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{1-sin^2a}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=\dfrac{4}{5}\)

\(tan\alpha=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow cot\alpha=1:\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{3}\)

Có:

\(1+cot^2\alpha=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\\ \Rightarrow sin\alpha=\sqrt{1:\left(1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\right)}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=\dfrac{4}{5}\)

Xem lại đề nhé bạn đề sai rồi

Đặt \(\widehat{B}=\alpha\)

a: \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\)

\(=sin^2B+cos^2B\)

\(=\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2+\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1\)

b: \(tan\alpha=tanB=\dfrac{AC}{AB}\)

\(=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{sina}{cosa}\)

c: \(cota=cotB\)

\(=\dfrac{AB}{AC}\)

\(=\dfrac{AB}{BC}:\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{cosa}{sina}\)

d: \(tana\cdot cota=\dfrac{cosa}{sina}\cdot\dfrac{sina}{cosa}=1\)

\(a)sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{đối}{huyền}\right)^2+\left(\dfrac{kề}{huyền}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{đối^2}{huyền^2}+\dfrac{kề^2}{huyền^2}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{đối^2+kề^2}{huyền^2}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{huyền^2}{huyền^2}=1\left(pytago\right)\\ \Leftrightarrow1=1\left(đpcm\right)\)

\(b)tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\ \Leftrightarrow tan\alpha=\dfrac{đối}{huyền}:\dfrac{kề}{huyền}\\ \Leftrightarrow tan\alpha=\dfrac{đối\cdot huyên}{huyền\cdot kề}\\ \Leftrightarrow tan\alpha=\dfrac{đối}{kề}\\ \Leftrightarrow tan\alpha=tan\alpha\left(đpcm\right)\)

\(c)cotg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\ \Leftrightarrow cotg\alpha=\dfrac{kề}{huyền}:\dfrac{đối}{huyền}\\ \Leftrightarrow cotg\alpha=\dfrac{kề\cdot huyền}{huyền\cdotđối}\\ \Leftrightarrow cotg\alpha=\dfrac{kề}{đối}\\ \Leftrightarrow cotg\alpha=cotg\alpha\left(đpcm\right)\)

\(d)tan\alpha\cdot cotg\alpha=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{đối}{kề}\cdot\dfrac{kề}{đối}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{đối\cdot kề}{kề\cdotđối}=1\\ \Leftrightarrow1=1\left(đpcm\right)\)

a: cos57=sin33

cos59=sin31

cos31=sin59

22<31<33<59<78

=>sin22<sin31<sin33<sin59<sin78

=>sin22<cos59<cos57<cos31<sin78

b: cot48=tan42

cot54=tan36

cot41=tan49

12<36<37<42<49

=>tan12<tan36<tan37<tan42<tan49

=>tan12<cot54<tan37<cot48<cot41