Tam giác đồng dạng - Hỏi đáp

Câu 1:

\(4x^2+8xy+28x+28y+8y^2+40=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+2y+7\right)^2+4y^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+2y+7\right)^2=9-4y^2\le9\)

\(\Rightarrow-3\le2x+2y+7\le3\)

\(\Leftrightarrow-8\le2y+2y+2\le-2\)

\(\Rightarrow-4\le x+y+1\le-1\)

\(\Rightarrow S_{max}=-1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(S_{min}=-4\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

\(x^2+y^2=6xy\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=6\)

Đặt \(\frac{x}{y}=a>1\Rightarrow a+\frac{1}{a}=6\Rightarrow a^2-6a+1=0\Rightarrow a=3+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{x-y}=\frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}-1}=\frac{a+1}{a-1}=\frac{3+2\sqrt{2}+1}{3+2\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}\)

\(D=\left|x-7\right|+\left|9-x\right|+\left|x-8\right|\ge\left|x-7+9-x\right|+\left|x-8\right|\)

\(D\ge2+\left|x-8\right|\ge2\)

\(\Rightarrow D_{min}=2\) khi \(x=8\)

\(A=\frac{6x^2+12x+27}{3\left(x^2+2x+4\right)}=\frac{7\left(x^2+2x+4\right)-x^2-2x-1}{3\left(x^2+2x+4\right)}=\frac{7}{3}-\frac{\left(x+1\right)^2}{3\left(x+1\right)^2+9}\le\frac{7}{3}\)

\(\Rightarrow A_{max}=\frac{7}{3}\) khi \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

\(B=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{3\left(x^2+x+1\right)-2x^2-4x-2}{x^2+x+1}=3-\frac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}=3-\frac{2\left(x+1\right)^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\le3\)

\(\Rightarrow B_{max}=3\) khi \(x+1=0\Rightarrow x=-1\)

\(C=\frac{2x^2-6x+3}{x^2-2x+1}=\frac{3\left(x^2-2x+1\right)+x^2}{x^2-2x+1}=3+\frac{x^2}{\left(x-1\right)^2}\ge3\)

\(C\) chỉ tồn tại min, ko tồn tại max

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta AHD\) có :

\(\widehat{BAH}:chung;\widehat{AHB}=\widehat{ADH}=90^o\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta ABH\) ~ \(\Delta AHD\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AB}{AH}=\frac{AH}{AD}\Leftrightarrow AH^2=AB.AD\) (1)

Xét \(\Delta ACH\) và \(\Delta AHE\) có :

\(\widehat{HAC}:chung;\widehat{AHC}=\widehat{AEH}=90^o\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta ACH\) ~ \(\Delta AHE\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AC}{AH}=\frac{AH}{AE}\Leftrightarrow AH^2=AC.AE\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(AB.AD=AC.AE\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta ABE\sim\Delta ACD\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

Xét \(\Delta DBM\) và \(\Delta ECM\)có :

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD};\widehat{DMB}=\widehat{EMC}\) (đối đỉnh )

\(\Rightarrow\) \(\Delta DBM\) ~ \(\Delta ECM\)

a, Vì tứ giác ABCD là hình bình hành

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB // CD}\\\text{AD // BC}\end{matrix}\right.\)

ΔDEA có BF // AD (BC // AD)

⇒ ΔBEF ~ ΔDEA (đpcm)

b, ΔDEG có AB // DG (AB // CD)

⇒ ΔABE ~ ΔGDE

⇒ \(\frac{AE}{EG}=\frac{EB}{ED}\)

⇒ EG . EB = ED . EA (đpcm)

c, Vì ΔBEF ~ ΔDEA

⇒ \(\frac{BE}{DE}=\frac{EF}{AE}\)(1)

Vì ΔABE ~ ΔGDE

⇒ \(\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{EG}\)(2)

Từ (1), (2) ⇒ \(\frac{EF}{AE}=\frac{AE}{EG}\)

⇒ AE² = EF . EG (đpcm)

Câu a :

Theo định lý py-ta-go cho \(\Delta ABC\) ta có :

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10cm\)

Câu b :

Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta ACB\) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\\\widehat{B}:Chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HAB\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\) (1)

Xét \(\Delta HCA\) và \(\Delta ACB\) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CHA}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\\\widehat{C}:Chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HCA\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\) (2)

Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\Delta HAB\sim\Delta HCA\) .

Câu c :

\(CE=4cm\Rightarrow BE=6cm\)

\(\Rightarrow BA=BE=6cm\)

Mà : \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\) ( câu b )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AB^2=HB.BC\)

\(\Rightarrow BE^2=HB.BC\left(đpcm\right)\)

a, ΔDEM và ΔDFE có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DEF}\text{ chung }\\\widehat{DEM}=\widehat{DFE}\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔDEM ~ ΔDFE (g.g)(đpcm)

b, Vì ΔDEM ~ ΔDFE

⇒ \(\frac{DE}{DF}=\frac{DM}{DE}\)

⇒ DM . DF = DE² = 3² = 9 (cm)

c, ΔDEH và ΔDMK là hai tam giác vuông mà có góc nhọn bằng nhau

⇒ \(\frac{S_{\text{ΔDEH}}}{S_{\text{ΔDMK}}}=\left(\frac{DE}{DM}\right)^2\)(1)

Vì ΔDEM ~ ΔDFE

⇒ \(\frac{DE}{DF}=\frac{DM}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

⇒ \(\frac{DE}{DM}=2\)

⇒ \(\left(\frac{DE}{DM}\right)^2=4\) (2)

Từ (1), (2) ⇒ \(\frac{S_{\text{ΔDEH}}}{S_{\text{ΔDMK}}}=4\)

⇒ S_ΔDEH = 4. S_ΔDMK (đpcm)

d) + ΔAEF ∼ ΔABC ( c.g.c )

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

+ Tương tự ta cm đc :

ΔCED ∼ ΔCBA ( c.g.c )

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CED}=\widehat{CBA}\\\widehat{CDE}=\widehat{CAB}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CED}=\widehat{AEF}\\\widehat{CDE}=\widehat{EAF}\end{matrix}\right.\)

+ ΔDEC ∼ ΔAEF ( g.g )

+ \(\widehat{CED}=\widehat{AEF}\Rightarrow90^o-\widehat{CED}=90^o-\widehat{AEF}\)

\(\Rightarrow\widehat{HED}=\widehat{HEF}\)

=> EH là tia p/g của góc DEF

CHUC BAN THI TOT

a + b) Xét 2 \(\Delta\) vuông ABC và HAC:
\(\widehat{HCA}\) chung
Suy ra: \(\Delta ABC\sim\Delta HAC\) (g.g)
=> \(\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}\)
=> AC² = HC . BC
Xét \(\Delta\) vuông ABC: BC² = AB² + AC²
Hay BC² = 6² + 8²
BC² = 36 + 64 = 100
=> BC = \(\sqrt{100}\) = 10 (cm)
Ta có : AC² = HC . BC (cmt)
Hay 8² = HC . 10
=> HC = \(\frac{8^2}{10}\) = 6,4 (cm)
Ta lại có : BH + HC = BC
Hay BH + 6,4 = 10
=> BH = 10 - 6,4 = 3,6 (cm)
c) \(\Delta\) ABC có: AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
=> \(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\)
=> \(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC-BD}\)
Hay \(\frac{6}{BD}=\frac{8}{10-BD}\)
=> 6(10 - BD) = 8BD
=> 60 - 6BD = 8BD
=> 60 = 8BD + 6BD
=> 60 = 14 BD
=> BD = \(\frac{30}{7}\) (cm)
Tương tự ta có : CD = \(\frac{40}{7}\) (cm)
Ta có : HC = HD + CD
Hay 6,4 = HD + \(\frac{40}{7}\)
=> HD = 6,4 - \(\frac{40}{7}\) = \(\frac{24}{35}\) (cm)
Ta có : BD = BH + HD hay \(\frac{30}{7}\) = 3,6 + \(\frac{24}{35}\) => Đúng
Suy ra : H nằm giữa B và D (đpcm)

A,B)XÉT TAM GIÁC AHC VÀ TAM GIÁC BAC CÓ :

GÓC C CHUNG

GÓC AHC = GÓC A (=90 ĐỘ)

=>TAM GIÁC AHC ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC BAC(G.G)

=>\(\frac{AC}{CH}=\frac{BC}{AC}\)

=>\(AC^2=CH.BC\left(DPCM\right)\)(1)

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ PY TA GO VÀO TAM GIÁC ABC VUÔNG TẠI A TA CÓ :

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\)

=>BC=\(\sqrt{6^2+8^2}\)

=>BC=10CM

TỪ (1) TA CÓ \(AC^2=CH.BC\)

MÀ AC=8CM,BC=10CM

=>CH=\(\frac{AC^2}{BC}\)

=>CH=6,4CM

MẶT KHÁC HB+CH=BC

=>HB=BC-CH

=>HB=10-6,4

=>HB=3,6CM

VẬY.....

a, Vì ΔABC vuông tại A ⇒ \(\widehat{BAC}=90^0\)

Vì AH là đường cao của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

⇒ \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^0\)

ΔABC và ΔHBA có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}\text{ chung}\\\widehat{BAC}=\widehat{H_1}=90^0\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔABC ~ ΔHBA (g.g)

⇒ \(\widehat{C}=\widehat{A_1}\)

ΔABH và ΔCAH có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^0\\\widehat{A_1}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔABH và ΔCAH (g.g)(đpcm)

b, Tính BC dựa vào định lí Pitago

Tính AH dựa vào diện tích tam giác

c, Vì ΔABC ~ ΔHBA

⇒ \(\frac{AB}{BC}=\frac{AH}{AB}\)

⇒ AB² = BH . BC

⇒ \(\frac{AB^2}{BH.BC}=1\)

⇒ \(\frac{AB}{BH}.\frac{AB}{BC}=1\)

ΔABC có BE là đường phân giác

⇒ \(\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}\) (2)

ΔABH có BI là đường phân giác

⇒ \(\frac{AB}{BH}=\frac{AI}{IH}\)(3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\frac{AI}{IH}.\frac{AE}{EC}=1\)(đpcm)

Định lí Talet đảo:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Định lý Ta - lét đảo:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Vẽ hình và Giả thuyết, Kết luận:

GT: △ABC,\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC},\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\)

KL: MN // BC