Bài 6: Tam giác cân

a) Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(gt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

HB=HC(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH⊥BC(đpcm)

c) Ta có: AH⊥BC(cmt)

mà H là trung điểm của BC(gt)

nên AH là đường trung trực của BC

⇔EH là đường trung trực của BC

⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)

nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

Bài 1: 

a) Xét ΔABC có BA=BC(gt)

nên ΔABC cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)(hai góc ở đáy)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔBHC vuông tại H, ta được:

\(BC^2=BH^2+HC^2\)

\(\Leftrightarrow HC^2=BC^2-BH^2=15^2-12^2=81\)

hay HC=9(cm)

Vậy: HC=9cm

c) Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBH vuông tại H có 

BA=BC(gt)

BH chung

Do đó: ΔABH=ΔCBH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

d) Ta có: BM=BC(gt)

mà BA=BC(gt)

nên BM=BA

mà B,M,A thẳng hàng(gt)

nên B là trung điểm của AM

hay \(BA=\dfrac{1}{2}\cdot AM\)

Xét ΔMCA có 

CB là đường trung tuyến ứng với cạnh AM(B là trung điểm của AM)

\(CB=\dfrac{1}{2}\cdot AM\)(CB=BA)

Do đó: ΔMCA vuông tại C(Định lí)

\(\Leftrightarrow\widehat{MCA}=90^0\)

hay \(\widehat{MCH}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{MCH}=90^0\)

Bổ sung đề: D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC

a) Ta có: \(AD=DB=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

\(AE=EC=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AD=DB=AE=EC

Xét ΔABE và ΔACD có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAE}\) chung

AE=AD(cmt)

Do đó: ΔABE=ΔACD(c-g-c)

b) Ta có: ΔABE=ΔACD(cmt)

nên BE=CD(hai cạnh tương ứng)

c) Xét ΔDBC và ΔECB có

DB=EC(cmt)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)

Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)

nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)

d) Xét ΔABK và ΔACK có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)AK chung

BK=CK(ΔKBC cân tại K)Do đó: ΔABK=ΔACK(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AK nằm giữa hai tia AB,AC

nên AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)

a) Xét ΔABD vuông tại B và ΔACD vuông tại C có 

AD chung

AB=AC(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔABD=ΔACD(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔABD=ΔACD(cmt)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AD nằm giữa hai tia AB,AC

nên AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

a) Xét ΔABD và ΔAED có 

AB=AE(gt)

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{BAE}\))

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAED(c-g-c)

Suy ra: BD=ED(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔBED có BD=ED(cmt)

nên ΔBED cân tại D(Định nghĩa tam giác cân)

b) Ta có: AB=AE(gt)

nên A nằm trên đường trung trực của BE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: DB=DE(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của BE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của BE

hay AD⊥BE tại trung điểm của BE

mà AD cắt BE tại I(gt)

nên AD⊥BE tại I

⇔\(\widehat{AIB}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{AIB}=90^0\)

c) Ta có: ΔBDA=ΔEDA(cmt)

nên \(\widehat{BDA}=\widehat{EDA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia DA nằm giữa hai tia DE,DB

nên DA là tia phân giác của \(\widehat{BDE}\)(đpcm)

a) Ta chứng minh được ΔABD = ΔAED (c-g-c)

=> BD = DE=> tam giác BDE cân tại D

b) Do ΔABD = ΔAED nên góc BDI = góc EDI

=> ΔBDI = ΔEDI (c-g-c)

=> góc BID = góc EID = 90 độ

=> góc AID = 90 độ

c) Ta có góc BDI = góc EDI

=> DA là phân giác của góc BDE