# Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Nguyễn Lê Phước Thịnh CTV 23 tháng 12 2020 lúc 12:55

a) Ta có: $P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}-\dfrac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x}-x}\right)$

$=\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{x-\left(x-1\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\right)\cdot\left(\dfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{2}-\sqrt{x}\right)}\right)$

$=\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{2}-\sqrt{x}\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{2}-\sqrt{x}\right)}\right)$

$=\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\cdot\dfrac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}-\sqrt{2}}{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

b) Ta có: $x=3-2\sqrt{2}$

$=2-2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1$

$=\left(\sqrt{2}-1\right)^2$

Thay $x=\left(\sqrt{2}-1\right)^2$ vào biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$, ta được:

$P=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}$

$=\dfrac{\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}-1}$

$=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$

$=\sqrt{2}+1$

Vậy: Khi $x=3-2\sqrt{2}$ thì $P=\sqrt{2}+1$

Bình luận (1)
Akai Haruma Giáo viên 18 tháng 1 lúc 14:29

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow (4x^2+y^2-4xy)+9y^2+12x+6y+13=0$

$\Leftrightarrow (2x-y)^2+6(2x-y)+9y^2+12y+13=0$

$\Leftrightarrow (2x-y)^2+6(2x-y)+9+(9y^2+12y+4)=0$

$\Leftrightarrow (2x-y+3)^2+(3y+2)^2=0$

$\Rightarrow (2x-y+3)^2=(3y+2)^2=0$

$\Rightarrow y=-\frac{2}{3}; x=\frac{-11}{6}$

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh CTV 15 tháng 1 lúc 20:51

Ta có: $P=\dfrac{4\sqrt{x}+3}{x+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$=\dfrac{4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$=\dfrac{x+4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}$

Để P nguyên thì $\sqrt{x}+3⋮\sqrt{x}$

mà $\sqrt{x}⋮\sqrt{x}$

nên $3⋮\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow\sqrt{x}\inƯ\left(3\right)$

$\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{1;-1;3;-3\right\}$

mà $\sqrt{x}>0\forall x$ thỏa mãn ĐKXĐ

nên $\sqrt{x}\in\left\{1;3\right\}$

$\Leftrightarrow x\in\left\{1;9\right\}$

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: $x\in\left\{1;9\right\}$

Vậy: Để P nguyên thì $x\in\left\{1;9\right\}$

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh CTV 11 tháng 1 lúc 22:21

Ta có: $\sqrt{5-2\sqrt{6}}+2\sqrt{2}$

$=\sqrt{3-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+2}+2\sqrt{2}$

$=\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}+2\sqrt{2}$

$=\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|+2\sqrt{2}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}$(Vì $\sqrt{3}>\sqrt{2}$)

$=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

Bình luận (0)
Trương Huy Hoàng 11 tháng 1 lúc 21:59

Bạn có thể vt rõ hơn được ko?

Bình luận (0)
Mai Thùy Trang 3 tháng 1 lúc 15:48

$M=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{a-\sqrt{a}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{2}{a-1}\right)$

$=\left[\dfrac{a}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]\left[\dfrac{\sqrt{a}-1}{a-1}+\dfrac{2}{a-1}\right]$

$=\dfrac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{a}-1}{a-1}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{a}}$

Bình luận (3)
Mai Thùy Trang 3 tháng 1 lúc 15:52

$M=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{a-\sqrt{a}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{2}{a-1}\right)$

$=\left[\dfrac{a}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]\left[\dfrac{\sqrt{a}-1}{a-1}+\dfrac{2}{a-1}\right]$

$=\dfrac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{a}+1}{a-1}$

$=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}$

Bình luận (0)
Lan Anh 3 tháng 1 lúc 14:10

mai mk thi rùi cầu cho các bạn trai xinh gái đẹp giúp mk với huhu

Bình luận (0)

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh CTV 30 tháng 12 2020 lúc 23:23

a) Thay $x=\dfrac{1}{4}$ vào biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$, ta được:

$A=\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}}+1\right):\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}}-2\right)$

$\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{1}{2}+1\right):\left(\dfrac{1}{2}-2\right)$

$\Leftrightarrow A=\dfrac{3}{2}:\dfrac{-3}{2}$

$\Leftrightarrow A=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{-3}=\dfrac{3}{-3}=-1$

Vậy: Khi $x=\dfrac{1}{4}$ thì A=-1

b) Ta có: $B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{\sqrt{x}-8}{x-5\sqrt{x}+6}$

$=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\dfrac{x-4+\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\dfrac{x+\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\dfrac{x+4\sqrt{x}-3\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+4\right)-3\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\dfrac{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}$

Bình luận (0)
Akai Haruma Giáo viên 30 tháng 12 2020 lúc 23:23

Lời giải:a) Với $x=\frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}$

Khi đó: $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-2}=-1$

b) $B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}=\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}+\frac{\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$

$=\frac{x-4+\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{x+\sqrt{x}-12}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}$

Bình luận (0)