Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Hỏi đáp

P = \(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{2+5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P =....

P = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

xin lỗi nhầm đề

\(A=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-b}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ab}-a}\right):\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}=\left[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}\right].\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\left[\frac{a}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{b}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right].\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(a-b\right)\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

Ngu vã đái 1s là ra ovs vật🤦‍♂️🤦‍♂️🤦‍♂️🤦‍♂️🤦‍♂️🤦‍♂️🤦‍♂️🦵👎👎👎👎👎👎👎👎👊👎👎😡😡😡👋👋👋👋👋👋✊✊✊✊✊

Lời giải:

Đặt \(\sqrt{1+x}=a; \sqrt{1-x}=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2b^2=1-x^2\\ a^2+b^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\frac{\sqrt{1-ab}(a^3+b^3)}{2-ab}\)

\(=\frac{\sqrt{1-ab}(a+b)(a^2-ab+b^2)}{2-ab}\)

\(=\frac{\sqrt{1-ab}(a+b)(2-ab)}{2-ab}=\sqrt{1-ab}(a+b)\)

\(=\sqrt{\frac{2-2ab}{2}}(a+b)=\sqrt{\frac{a^2+b^2-2ab}{2}}(a+b)\)

\(=\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}(a+b)=\frac{|a^2-b^2|}{\sqrt{2}}=\frac{|(1+x)-(1-x)|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}|x|\)

Lời giải:
a)

$P=\left[2+\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+1}\right]\left[2-\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}-1}\right]$

$=(2+\sqrt{a})(2-\sqrt{a})=4-a$

b)

Với mọi $a\geq 0; a\neq 1$ thì $P=4-a\leq 4-0$ hay $P\leq 4$

Vậy GTLN của $P$ là $4$ khi $a=0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có :

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\) (2)

\(\dfrac{c+a}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)

Cộng từng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được :

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Mở rộng cho bốn số a, b, c, d không âm, ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)

Mở rộng cho năm số a, b, c, d, e không âm, ta có bất đẳng thức : \(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)

áp dụng BĐT AM-GM với 2 số không âm

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

cộng các vế của BĐT ta có

\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

chia cả hai vế của BĐT cho 2 ta có đpcm

Với \(x\ge0\) thì \(C_{min}\) khi \(A=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+8}\) đạt min

\(A=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+8}\Rightarrow A\sqrt{x}+8A=\sqrt{x}+7\)

\(\Rightarrow\left(A-1\right)\sqrt{x}=7-8A\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{7-8A}{A-1}\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\frac{7-8A}{A-1}\ge0\Rightarrow\frac{7}{8}\le A< 1\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{7}{8}\) khi \(x=0\Rightarrow C_{min}=\frac{\sqrt{14}}{4}\) khi \(x=0\)

giúp mik với

a/ đk: \(x>0;x\ne\)1

\(A=\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\left(1-\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)\(:\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left[\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right]:\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)\(=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

vậy A=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) với x>0;x\(\ne1\)

b/ ta có: \(x=\frac{1}{6-2\sqrt{5}}=\frac{1}{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\)

thay x=\(\frac{1}{\sqrt{5}-1}\left(TM\right)\) vào biểu thức A ta có:

\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}-1}+1}{\frac{1}{\sqrt{5}-1}-1}=-5-2\sqrt{5}\)

vậy A=\(-5-2\sqrt{5}\) tại x=\(\frac{1}{6-2\sqrt{5}}\)

c/ ta có A=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\left(x>0;x\ne1\right)\)

=\(1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

vì 1\(\in Z\) nên để A\(\in Z\) thì \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)mà x>0;x khác 1 nên \(\sqrt{x}-1>-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1\in\left\{1;2\right\}\)

trường hợp 1: \(\sqrt{x}-1=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(TM\right)\)

trường hợp 2:\(\sqrt{x}-1=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\left(TM\right)\)

vậy x=4 hoặc x=9 thì A có giá trị nguyên

d/ ta có \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\left(x>0;x\ne1\right)\)

để A=-3 thì \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-3\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=-3\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\left(TM\right)\)

vậy x=1/4 thì A=-3

a) Ta có f(1)=2\(\Leftrightarrow2=\left(m-1\right).1+2m-3\Leftrightarrow2=m-1+2m-3\Leftrightarrow3m=6\Leftrightarrow m=2\)

Vậy hàm số đã cho bây giờ có dạng y=(2-1)x+2.2-3\(\Leftrightarrow\)y=x+1

Ta có y=f(2)=2+1=3

Vậy f(2)=3

b) Ta có f(-3)=0\(\Leftrightarrow0=\left(m-1\right).\left(-3\right)+2m-3\Leftrightarrow0=-3m+3+2m-3\Leftrightarrow0=m\)Vậy hàm số đã cho bây giờ có dạng y=(0-1)x+2.0-3\(\Leftrightarrow\)y=-x-3

Ta có hệ số a<0(-1<0) nên hàm số y=f(x)=-x-3 nghịch biến

(\(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\)).\(\frac{1+2\sqrt{a}+a}{\left(1-a\right)^2}\)+\(\sqrt{a}\)

=\(\left(\frac{1+\left(\sqrt{a}\right)^3}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right).\frac{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-a\right)^2}+\sqrt{a}\)

=\(\left(\frac{\left(1+\sqrt{a}\right).\left(1-\sqrt{a}+a\right)}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right).\frac{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-a\right)^2}+\sqrt{a}\)

=\(\left(1-\sqrt{a}+a-\sqrt{a}\right)-\frac{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-a\right)^2}+\sqrt{a}\)

=\(\left(1-\sqrt{a}\right)^2.\frac{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-a\right)^2}+\sqrt{a}\)

=\(\sqrt{a}\)

\(dk:x\ge\frac{-10}{3}\)

\(x^2+9x+20=2\sqrt{3x+10}\Leftrightarrow x^2+6x+10+\left(3x+10\right)-2\sqrt{3x+10}=0\Leftrightarrow\left(x^2+6x+9\right)+\left(3x+10-2\sqrt{3x+10}+1\right)=\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{3x+10}-1\right)^2=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\\sqrt{3x+10}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-3\left(tmdk\right)\)

Điều kiện 3x + 10 ≥ 0 =>x ≥ -10 /3
Pt <=> (3x + 10)² + 7(3x + 10) + 10 = 18\(\sqrt{\left(3x+10\right)}\)
Đặt y = \(\sqrt{\left(3x+10\right)}\) ≥ 0 pt trở thành
y⁴ + 7y² - 18y + 10 = 0
<=> (y - 1)²(y² + 2y + 10) = 0
<=> (y-1)^2 [(y+1)^2 +9] =0
mà (y+1)^2 +9 > 0 =>y=1 => x= -3

ĐKXĐ:...

\(A=x-\sqrt{x-2016}=x-2016-\sqrt{x-2016}+\frac{1}{4}+\frac{8063}{4}\)

\(A=\left(\sqrt{x-2016}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{8063}{4}\ge\frac{8063}{4}\)

\(A_{min}=\frac{8063}{4}\) khi \(x-2016=\frac{1}{4}\Rightarrow x=...\)

\(B=x+\sqrt{x}+1\)

Do \(x\ge0\Rightarrow x+\sqrt{x}\ge0\Rightarrow B\ge1\)

\(B_{min}=1\) khi \(x=0\)

a) ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne4\)

\(b)P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\\ P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\\ P = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {2 + 5\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ P = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ P = \dfrac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ P = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ P = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} \)

\(c)P=2\Rightarrow\)\(\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}=2 \)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}=2\left(\sqrt{x}+2\right)\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}=2\sqrt{x}+4\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}=4\\ \Leftrightarrow x=16\)