Tính tổng \(S=C^0_7+2^2C^1_7+3.2^2C^2_7+...+8.2^7C^7_7\).
\(10206\) \(12393\) \(512\) \(729\) Hướng dẫn giải:Viết lại tổng đã cho dưới dạng \(S=1.2^0C^0_7+2.2^1C^1_7+3.2^2C^2_7+...+8.2^7C^7_7=\sum\limits^7_{k=0}C^k_7\left(k+1\right)2^k.\) Nếu kí hiệu \(u\left(x\right)|_{x=x_0}=u\left(x_0\right)\) là giá trị của hàm số \(u\left(x\right)\) tại \(x=x_0\) thì
\(S=\sum\limits^7_{k=0}C^k_7\left(k+1\right)2^k=\sum\limits^7_{k=0}\left(C^k_7x^{k+1}\right)'|_{x=2}=\left(\sum\limits^7_{k=0}C^k_7x^{k+1}\right)'|_{x=2}=\left(x\sum\limits^7_{k=0}C^k_7x^k\right)'|_{x=2}=\left(x\left(x+1\right)^7\right)'|_{x=2}=\left(\left(x+1\right)^7+x.7\left(x+1\right)^6\right)|_{x=2}=3^7+14.3^6=17.3^6=12393\)