Chọn khẳng định sai:
\(2.1C^2_5+3.2C^3_5+4.3C^4_5+5.4C^5_5=2^5.5\)\(2.1C^2_6+3.2C^3_6+4.3C^4_6+5.4C^5_6+6.5C^6_6=2^5.3.5\)\(2.1C^2_7+3.2C^3_7+4.3C^4_7+5.4C^5_7+6.5C^6_7+7.6.C^7_7=2^5.3.5.7\)\(2.1C^2_4+3.2C^3_4+4.3C^4_4=2^3.3\)Hướng dẫn giải:Ta xét bài toán tổng quát: Tính \(S=2.1.C^1_n+3.2.C^2_n+4.3.C^1_n+...+n.\left(n-1\right).C^1_n\) \(\left(n\ge2\right)\) Số hạng tổng quát của \(S\) có dạng \(k\left(k-1\right)C^k_n=C^k_nk\left(k-1\right).1^{k-2}=C^k_nk\left(k-1\right)x^{k-2}|_{x=1}=\left(C^k_nx^k\right)"|_{x=1}\) (trong đó ta dùng kí hiệu \(u\left(x\right)|_{x=x_0}\)là giá trị của hàm số \(u\left(x\right)\) tại \(x=x_0.\))
Vì vậy \(S=\sum\limits^n_{k=2}\left(C^k_nx^k\right)"|_{x=1}=\left(\sum\limits^n_{k=0}C^kx^k_n\right)"|_{x=1}\) (do \(\left(C^k_nx^k\right)"=0,\left(k=0;k=1\right)\). Do đó \(S=\left(\left(x+1\right)^n\right)"|_{x=1}=n\left(n-1\right)\left(x+1\right)^{n-2}|_{x=1}=n\left(n-1\right)2^{n-2}.\) Như vậy
\(S=\left(\left(x+1\right)^n\right)"|_{x=1}=n\left(n-1\right)\left(x+1\right)^{n-2}|_{x=1}=n\left(n-1\right)2^{n-2}.\) (1)
Trong (1) lần lượt cho \(n=4,5,6,7\) ta thấy \(2.1C^2_7+3.2C^3_7+4.3C^4_7+5.4C^5_7+6.5C^6_7+7.6.C^7_7=2^5.3.5.7\) là khẳng định sai.