Hàm số nào trong các hàm số sau đây có đạo hàm cấp hai là \(6x\)?
\(y=3x^2\).\(y=x^3\).\(y=\dfrac{x^4}{4}\).\(y=\dfrac{x^3}{3}\).Hướng dẫn giải:Xét \(f\left(x\right)=ax^n\). Ta có \(f'\left(x\right)=nax^{n-1};f"\left(x\right)=n\left(n-1\right)ax^{n-2}.\) Nếu \(f"\left(x\right)=6x\) thì \(n\left(n-1\right)ax^{n-2}=6x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-2=1\\an\left(n-1\right)=6\end{matrix}\right.\), suy ra \(n=3,a=1.\) Đáp số đúng là \(y=x^3\).
Cách khác: \(y'=\int y"\text{d}x=\int6x\text{d}x=3x^2+C;\) \(y=\int y'\text{d}x=\int\left(3x^2+C\right)\text{d}x=x^3+Cx+C_1\). Trong bốn hàm số đã cho (trong các đáp án) chỉ có \(y=x^3\) có dạng trên (ứng với \(C=C_1=0.\)