Câu 38 Mã đề 112 Thi THPT Quốc gia 2018
Cho khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶.𝐴'𝐵'𝐶', khoảng cách từ 𝐶 đến đường thẳng 𝐵𝐵' bằng \(\sqrt{5}\), khoảng cách từ 𝐴 đến các đường thẳng 𝐵𝐵' và 𝐶𝐶' lần lượt bằng \(1\) và \(2\) , hình chiếu vuông góc của 𝐴 lên mặt phẳng ( 𝐴'𝐵'𝐶') là trung điểm 𝑀 của 𝐵'𝐶' và 𝐴'𝑀 \(=\sqrt{5}.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
\(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\) \(\dfrac{2\sqrt{15}}{3}\) \(\sqrt{5}\) \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}\) Hướng dẫn giải:
Thiết diện qua A' vuông góc với cạnh bên lăng trụ là tam giác \(A'B_1C_1\) (\(B_1,C_1\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BB',CC'\)), như vậy theo giả thiết ta có \(A'B_1=1,A'C_1=2,B_1C_1=\sqrt{5}\). Theo định lí Pitago đảo thì thiết diện này là một tam giác vuông và diện tích của nó bằng \(1.\)
Gọi \(M_1\)là trung điểm của \(B_1C_1\) thì \(MM_1\)song song với cạnh bên của lăng trụ; \(A'M_1=\dfrac{B_1C_1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) (\(A'M_1\) là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông \(A'B_1C_1\)).
Tứ giác \(A'M_1MA\) là hình thang vuông (vuông tại \(A'\) và \(M_1\)), \(AM\) vuông góc với \(A'M\) (vì theo giả thiết \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mp\(\left(A'B'C'\right)\) và \(A'M\subset\left(A'B'C'\right)\) ); \(A'M_1=\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{2}A'M\) suy ra \(\widehat{MA'M_1}=60^0\), do đó \(\widehat{MA'A}=30^0\) và \(\widehat{A'AM}=60^0.\) Từ đó \(AA'=\dfrac{A'M}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}.\) Thể tích V của khối lăng trụ bằngdiện tích thiết diện vuông góc nhân với cạnh bên, do đó \(V=1.\dfrac{2\sqrt{15}}{3}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}\)