Câu 44 Mã đề 108 Thi THPTQG2017
Xét khối tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh 𝐴𝐵 = 𝑥 và các cạnh còn lại đều bằng \(2\sqrt{3}.\) Tìm 𝑥 để thể tích khối tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 đạt giá trị lớn nhất.
\(\sqrt{14}\) \(\sqrt{6}\) \(2\sqrt{3}\) \(3\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm CD, E là trung điểm AB. Từ giả thiết các cạnh còn lại (trừ cạnh AB) đều bằng \(2\sqrt{3},\) suy ra \(MB=MA=2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\) (đường cao tam giác đều cạnh \(2\sqrt{3}\)) , tam giác MAB cân ở M nên trung tuyến ME cũng là đường cao tam giác MAB và \(DC\perp\left(MAB\right)\). Vì vậy thể tích tứ diện ABCD bằng \(V=\dfrac{1}{3}CD.S_{MAB}\)=\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.S_{MAB}\) và thể tích \(V\)sẽ lớn nhất khi và chỉ khi \(S_{MAB}\) lớn nhất.
Tam giác MAB cân ở M có \(MA=MB=3,AB=x\) , đường cao \(ME=\sqrt{3^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}=\sqrt{9-\dfrac{x^2}{4}}\). Do đó
\(S_{MAB}=\dfrac{1}{2}AB.ME=\dfrac{x}{2}\sqrt{9-\dfrac{x^2}{4}}\), do đó \(S^2_{MAB}=\dfrac{x^2}{4}.\left(9-\dfrac{x^2}{4}\right)\le\left(\dfrac{\left(\dfrac{x^2}{4}+9-\dfrac{x^2}{4}\right)}{2}\right)^2=\left(\dfrac{9}{2}\right)^2\Rightarrow S_{MAB}\le\dfrac{9}{2}\). Trong đó \(S_{MAB}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{x^2}{4}=9-\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x^2=18\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}.\)